Question

alguien me podría ayudar con este problema de tasas relacionadas?? POR FAVOR!!!!!!
se descarga arena en un montículo a una capacidad de 15 m3/min, su tamaño es tal que que el montón que se forma es un cono cuyo diámetro en la base siempre es igual a su altura. ¿con qué rapidez cambia su altura del montón cuando mide 5 metros de altura???

Answer 1

El volumen de un cono está dado por:

v= 1/3πr²h

si r=h:

v= 1/3 πr³, luego:
 
3v/π= r³                          (1)

Tanto r como v dependen del tiempo, si derivamos con respecto al tiempo (1):

d/dt (3v/π)= d/dt r³ 
3/π dv/dt = 3r² dr/dt   (Usando derivación implícita)
Como dv/dt = 15
15/(πr²) = dr/dt

15/π (1/ ∛(3v/π)²) = dr/dt

Si la altura del montón es 5 m, el volumen en ese instante es:
v(5)= π/3 (125) m³

Luego la rapidez con la que cambia la altura cuando el cono tiene 5 m de radio está dada por:

dr/dt (5) = 1/25 (15/π) m/min = 3/(5π) m/min