Question

De un grupo de nueve varones y cinco mujeres,

determinar de cuántas maneras diferentes se

puede elegir un comité conformado de las

siguientes maneras:

a). Cinco personas, integrado por tres mujeres

y dos varones.

b) Siete personas, de tal forma que en cada

grupo haya, por lo menos, tres mujeres.

Dé como respuesta la suma de ambos

resultados

Answer 1

a)  Cinco personas: 3 mujeres y 2 varones
Se toma el total de mujeres y se calculan las combinaciones de 5 mujeres que hay en total, tomadas de 3 en 3 (no variaciones, porque no importa el orden en que se enumeren los elementos de cada combinación)

$C_5^3= \frac{5!}{3!*(5-3)!} = \frac{5*4*3!}{3!*2!} = \frac{20}{2}=10$

Con el mismo razonamiento se toman el total de hombres y se calculan las combinaciones de 9 hombres tomados de 2 en 2

$C_9^2= \frac{9!}{2!*(9-2)!} = \frac{9*8*7!}{2!*7!}= \frac{72}{2} =36$

Conocidos estos dos datos, el resultado del ejercicio se obtiene multiplicándolos:  36×10 = 360 maneras de formarse el comité.

b) 7 personas con al menos 3 mujeres
Este es más laborioso de calcular pero no es más difícil.
Simplemente hay que tener en cuenta que habrá que calcular las combinaciones de mujeres en tres grupos:

Tomando de 3 en 3, de 4 en 4 y de 5 en 5 
Y teniendo en cuenta que el resto hasta formar el comité de 7 personas será de hombres.

Por tanto habrá que hacer tres ejercicios distintos, y son:

1º.- Combinaciones de 5 mujeres tomadas de 3 en 3 y... Combinaciones de 9 hombres tomados de 4 en 4, para finalmente multiplicar los resultados y reservarlos.

2º .- Combinaciones de 5 mujeres tomadas de 4 en 4 y... Combinaciones de 9 hombres tomados de 3 en 3, para finalmente multiplicar los resultados y reservarlos.

3º .- Permutaciones de las 5 mujeres (5!) y... Combinaciones de 9 hombres tomados de 2 en 2, para finalmente multiplicar los resultados y reservarlos.

Una vez obtenidos los resultados parciales de los tres ejercicios, se suman y nos darán el resultado total.

Saludos.