Question

En una población una variable aleatoria sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 2.

Observada una muestra de tamaño 400, tomada aleatoriamente, se ha obtenido una media muestra al igual a 50. con un 97 % de confianza, para la media de la población. ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para qué la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, 1?

Answer 1

Para hallar con dicho intervalo debemos aplicar la siguiente formula:

Xn + ó -  Z α/2 * σXn


Leyenda:

Donde Xn es la media muestral,  Z α/2 el intervalo de confianza relacionado y  σ la desviación típica de la media


DATOS: 

Media muestral= 50
Desviación Típica= 2
Intervalo de Confianza= 97%, que corresponde a 2,17 en una tabla normal standard. 

Tenemos que:

La desviación típica para la muestra es igual a 2/400= 0,005

y finalmente sustituyendo en la formula tenemos que:

50 + ó - 2,16 (0, 005)= 50 + ó - 0,0108


Límite Superior del Intervalo: 50, 0108

Límite Inferior del Intervalo: 49, 9892

Answer 2

La primera parte del ejercicio pareciera que no tiene nada que ver con la segunda parte del mismo, por tanto lo omitiré. 

Datos
Observada una muestra de tamaño 400, tomada aleatoriamente, se ha obtenido una media muestra al igual a 50. con un 97 % de confianza, para la media de la población.

Resolver
¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para qué la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, 1?

Solución
Lo que no tenemos en este problema son los datos, no podemos obtener desviación estándar sin estos datos, ya que no nos dan la desviación. 


Para construir un íntervalo de confianza debemos usar esta fórmula:
$intervalo = media +- Z \alpha /2* \frac{desviacion}{ \sqrt{n} }$

Para obtener el valor crítico, tomamos el valor de confianza (0.95), hacemos 1 - 0.97 y lo dividimos entre 2, resultando en 0.015. 

El valor más cercano en la tabla es de -2.96. 

Ahora bien, 
$intervalo = media +- Z \alpha /2* \frac{desviacion}{ \sqrt{n} }$

$intervalo = 50 +- (-2.96)* \frac{desviacion}{\sqrt{400}}\\\\ intervalo = 50 +- (-2.96)* \frac{desviacion}{20}$

Para estimar que el intervalo sea máximo de uno, debemos aproximar la desviación, así que debemos entender que el término que resulte al sumar o restar con 50 debe ser igual a 1. Entonces: 


$(-2.96)* \frac{desviacion}{\sqrt{400}} = 1\\\\ desviacion = 20/-2.96 desviacion = -6.7567$

Realmente a pesar de que no tenga sentido el signo menos, recordemos que esto proviene de la tabla, donde realmente es indiferente si es negativo o positivo porque la normal es simétrica, entonces -6.7567 es en realidad 6.7567. Siendo así: 

$intervalo = 50 +- (-2.96)* \frac{6.7567}{20}$

Aproximadamente es igual a (49,51)