Question

Demuestre que la función definida por f:[-2,2]→[8,16] definida por f(x)=3x^2+2x, es
Creciente. De no serlo, indique intervalo de crecimiento y de decrecimiento

Uno a uno. De no serlo, acote el dominio de la función

Determine su inversa (1 punto)

Answer 1

Veamos. Una función cuadrática con su término de segundo grado positivo es decreciente desde - infinito hasta su vértice y es creciente desde su vértice hasta infinito. Buscamos por lo tanto el vértice.

Derivamos la función: f'(x) = 6 x + 2; hallamos el cero de la derivada:

x = - 1/3

La función es decreciente en [- 2, - 1/3)
Es creciente en (- 1/3, 2]

Los conjuntos anteriores son los dominios donde es creciente o decreciente.

La relación inversa no es función ya que distintos valores de x producen iguales valores de y.
Por ejemplo para x = - 1/3 + 1 = 2/3 f(x) = 8/3
Para x = - 1/3 - 1 = - 4/3, f(x) = 8/3

Si acotamos el dominio en [- 2, - 1/3] y / o en [- 1/3, 2] hay entonces función inversa en cada uno. La imagen de [- 2, - 1/3] es [- 1/3, 8] y para el dominio 
[- 1/3, 2] es [- 1/3, 16]. Recuerda que en las funciones inversas se intercambian dominios por imágenes

Para el dominio [- 1/3, 8] la función inversa es: - [√(3 x + 1) + 1] / 3
Para el dominio [- 1/3, 16] la función inversa es [√(3 x + 1) - 1] / 3

Te adjunto archivo con las gráficas.

Saludos Herminio

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