Question

Sea L la recta del espacio que contiene a los puntos P(-1, 1, 2) y Q(0, -1, 1), y sea
R(-b ^ 2, b, b2 ^ + 1) un punto en el espacio. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
A) Existe un único valor de b para el cual R pertenece a L.
B) R no pertenece a L, cualquiera sea el valor de b.
C) Existen exactamente dos valores de b para los cuales R pertenece a L.
D) Cualquiera sea el valor de b, R pertenece a L.
E) Existen al menos dos valores positivos de b para los cuales R pertenece
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

Para responder a este ejercicio es necesario hallar la ecuación de la recta que pasa por lo puntos P y Q, para luego analizar las condiciones de "b" para R y verificar cuál de las afirmaciones es verdadera.

Para ello decimos que la ecuación vectorial de la recta que pasa por P(-1, 1, 2) y Q(0, -1, 1) es (x, y, z) = (0 - (-1),  -1-1,  1-2)λ + (0, -1, 1)
(x, y, z) = (1,  -2,  -1)λ + (0, -1, 1)
(x, y, z) = (1λ + 0,  -2λ -1,  -λ + 1)

Es decir que para que R(-b², b, b² +1) pertenezca a la recta se debe cumplir que (-b², b, b² +1) = (1λ + 0,  -2λ -1,  -λ + 1)

Por lo tanto, despejamos λ en cada coordenada de forma que
- b² = λ
$-\frac{b + 1}{2}$ = λ
- b² = λ

Igualamos λ y obtenemos que $b^{2} = \frac{b + 1}{2}$ es decir: 2b² - b -1

Ahora haremos uso de la ecuación cuadrática para hallar el valor de b:
$\frac{-b +- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$\frac{-(-1) +- \sqrt{(-1)^{2}-4(2)(-1)}}{2(2)}$
$\frac{1 +- \sqrt{1+8}}{4}$
$\frac{1 +- \sqrt{9}}{4}$
$\frac{1 +3}{4}$     o    $\frac{1 - 3}{4}$
b = 1     ó     $b = \frac{-1{2}$

Es decir, que existen exactamente dos valores de b para los cuales R pertenece a L, alternativa C

Saludos!


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