Question

Sean las funciones f, g y h, todas con dominio el conjunto de los números
reales, definidas por f(x) = 3/4(x). x-2g (x) + 2 =0 , 5x + 6h (x) -30=0 ¿Cuál de
las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) h(x) es inversamente proporcional a x.
B) g(x) es directamente proporcional a x.
C) Las rectas que representan a las gráficas de las funciones f y g tienen la
misma pendiente.
D) g(2x) = 2g(x)
E) g(0) =
5
1
h(0)
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

Para resolver esta pregunta podemos analizar las afirmaciones para cada opción de respuesta recordando que dos variables son inversamente proporcionales si el producto de ellas es constante y son directamente proporcionales si el cociente entre ellas es constante.

Entonces decimos lo siguiente:
x - 2g(x) + 2 = 0 
- 2g(x) = - X - 2
$g(x)= \frac{-X -2}{-2}$
$g(x)= \frac{X}{2} + 1$

Y   5x + 6h(x) - 30 = 0
6h(x) = - 5x + 30 
$h(x)= \frac{-5X + 30}{6}$
$h(x)= \frac{-5X}{6} +5$

Una vez hallados los valores de g(x) y de h(x) procedemos a probar cada afirmación:
     I. h(x) es inversamente proporcional a x
SI primero decimos que X = 1  entonces h(x) = ?
$h(1)= \frac{-5(1)}{6} +5$
$h(1)= \frac{-5}{6} +5 = \frac{25}{6}$

Y por ende X. h(x) = $1.\frac{25}{6} = \frac{25}{6}$ 

Ahora decimos que para X = 2,  h(x) = ?
$h(2)= \frac{-5(2)}{6} +5$
$h(2)= \frac{-10}{6} +5 = \frac{10}{3}$

Y por ende X. h(x) = $2.\frac{10}{3} = \frac{20}{3}$
 
Como $\frac{25}{6} \neq \frac{20}{3}$, es decir, no son constantes, esta afirmación es falsa.
 
     II. g(x) es directamente proporcional a x
Para X = 1,  g(x) = ?
$g(x)= \frac{(1)}{2} + 1 = \frac{3}{2}$
Y por ende $\frac{g(X)}{X} = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2}$

Ahora… Para X = 2,   g(x) = ?
$g(x)= \frac{(2)}{2} + 1 = 2$
Y por ende $\frac{g(X)}{X} = \frac{2}{2} = 1$

Como $\frac{3}{2} \neq 1$, es decir, no son constantes, esta afirmación es falsa.
  
    III. Las rectas que representan a las gráficas de las funciones f y g tienen la misma pendiente.
En una ecuación de tipo y = mx + n, "m" representa su pendiente, por lo tanto decimos que en el caso de g(x), su pendiente es $\frac{1}{2}$ y en el caso de f(x), su pendiente es $\frac{3}{4}$.

Como ambos números son distintos, esta afirmacion es falsa.
 
     IV. g(2x) = 2g(x)
Entonces decimos que $g(2X)= \frac{2X}{2} + 1 = X + 1$

Por su parte $2.g(X)= 2(\frac{X}{2} + 1) = \frac{2X}{2} + 2 = X + 2$

Todo indica que g(2x) ≠ 2g(x), por lo que esta afirmación es falsa.
 
     V. $g(0) = \frac{1}{5}.h(0)$
Entonces decimos que $g(0)= \frac{0}{2} + 1 =  1$

Por su parte $\frac{1}{5}.h(0) = \frac{1}{5}.(\frac{-5(0)}{6} + 5 = 1$

Podemos observar que esta igualdad es verdadera y por lo tanto, E es la alternativa correcta.

Saludos! 

Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas