Una esquiadora parte del tope de una enorme bola de nieve sin fricción, con rapidez inicial muy pequeña, y baja esquiando por el costado (figura 7.38). ¿en qué punto pierde ella contacto con la bola de nieve y sigue una trayectoria tangencial? es decir, en el instante en que ella pierde contacto con la nieve, ¿qué ángulo a forma con la vertical una línea radial que va del centro de la bola a la esquiadora? .
Respuestas
En este problema se plantea de tal forma que un cuerpo en movimiento (la esquiadora) va a descender por una bola de nieve, y la interrogante es que ángulo se forma entre la trayectoria del cuerpo y el centro de la bola de nieve. Para determinar este ángulo, y dado que la esquiadora realiza un movimiento, involucraremos energía potencial y cinética y se debe determinar la ecuación que incluya el ángulo que queremos obtener.
Se asume que en el inicio del desplazamiento la energía cinética, que depende de la velocidad inicial, es muy pequeña, por lo que podemos decir que el valor es cercano a 0, o en este caso lo tomaremos como Ec = 0. La energía potencial está presente, y se expresa: Ep = m.g.R . A este inicio lo denominaremos punto 1. Una vez transcurrido un trayecto, la esquiadora se separará de la bola de nieve (punto 2), y allí la energia cinética (Ec) será
Ec = ½( m.v2);
la energía potencial estará dada en 2:
Ep = m.g.h
Planteamos para este problema
Ep1 + Ec1 = Ep2 + Ec2
m.g.R + 0 = m.g.h + 1/2.m.v² (R expresa el radio de la bola de nieve).
Como se pretende obtener una ecuación simplificando y despejando, igualaremos los términos, por lo que decimos:
senθ = h/R
h = R. senθ
La ecuación que involucra la suma de Ep y Ec es:
m.g.R = m.g.R. sen θ + mv²
m.g.R – m.g.R. sen θ =
mv²
Eliminamos las masas
gR - gR.senθ = v²
2gR - 2gR. sen θ = v²
v²/R = 2g - 2g. sen θ
Esta será nuestra primera ecuación: v²/R = 2g - 2g. sen θ
En el punto 2, el peso de la esquiadora es una fuerza que actúa en la dirección que toma al separarse de la bola de nieve, pero también una fuerza que actúa en la dirección de la tangente. La otra fuerza que actúa es la de la normal (N).
Tomando como referencia que la dirección N +, el peso tendrá un valor negativo:
En N: Pn = -mg. sen θ.
En dirección normal =
N - Pn
Por tanto:
m.a = N - mg.senθ
Y como la aceleración es hacia el centro, su valor será: - v²/R (negativo porque es contraria a la dirección normal).
m.(-v²/R) = N - mg. sen θ
-m.v²/R = N - mg. sen θ
Sustituiremos v²/R con la ecuación 1
-m.(2.g – 2.g. sen θ) = N – m.g. sen θ
-2m.g + 2m.g. sen θ + m.g. sen θ = N
-2mg + 3mg. sen θ = N
En el preciso momento en que N sea igual a 0, decimos
-2mg + 3mg. sen θ = 0
3mg. sen θ = 2mg
3 sen θ = 2
sen θ = 2/3
θ = arc sen 2/3
θ = 41,81º
Y 41,81º será el ángulo que forma con la vertical una línea radial que va del centro de la bola a la esquiadora, en el momento en que ella pierde contacto con la bola de nieve.
Sòlo es necesario utilizar la conservación de energía y tener en cuenta que el eje x positivo en el movimiento circular Se lo toma al centro de la circunferencia
