Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos hemisféricos. El depósito debe almacenar 10000 litros de fluido. Determinar el radio r y la longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque.
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Respuesta dada por:
31
Hola!
Bien estamos ante un problema de optimización.
Primero busquemos el volumen total del tanque, el cual viene dado por: Volumen del cilindro y del la esfera, compuesta de los dos hemisferio.
![Ve = \frac{4}{3} * \pi * R^3 Ve = \frac{4}{3} * \pi * R^3](https://tex.z-dn.net/?f=Ve+%3D+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%2A+%5Cpi+%2A+R%5E3)
![VT = \frac{4}{3} * \pi * R^3 + \pi * R^2* H
VT = \frac{4}{3} * \pi * R^3 + \pi * R^2* H](https://tex.z-dn.net/?f=%0AVT+%3D++%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%2A+%5Cpi+%2A+R%5E3+%2B+%5Cpi+%2A+R%5E2%2A+H+)
Despejamos H en función de R:
![H = \frac{V T - \frac{4}{3} * \pi * R^3 }{\pi R^2} H = \frac{V T - \frac{4}{3} * \pi * R^3 }{\pi R^2}](https://tex.z-dn.net/?f=H+%3D++%5Cfrac%7BV+T+-+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%2A+%5Cpi+%2A+R%5E3++%7D%7B%5Cpi+R%5E2%7D+)
Ahora planteamos el area total del tanque:
![S = 2* \pi *R* H + 4* \pi * R^2 S = 2* \pi *R* H + 4* \pi * R^2](https://tex.z-dn.net/?f=S+%3D+2%2A+%5Cpi+%2AR%2A+H+%2B+4%2A+%5Cpi+%2A+R%5E2)
Sustituimos H y acomodamos la ecuación:
![S = 2*(10000 - \frac{4}{3} * \pi * R^3) + 4* \pi * R^2 S = 2*(10000 - \frac{4}{3} * \pi * R^3) + 4* \pi * R^2](https://tex.z-dn.net/?f=S+%3D+2%2A%2810000+-+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%2A+%5Cpi+%2A+R%5E3%29+%2B+4%2A+%5Cpi+%2A+R%5E2)
Derivamos y igualamos a cero para obtener el minimo:
![S' = -8*\pi*R^2 + 8*\pi*R --\ \textgreater \ 0 = -8*\pi*R^2 + 8*\pi*R S' = -8*\pi*R^2 + 8*\pi*R --\ \textgreater \ 0 = -8*\pi*R^2 + 8*\pi*R](https://tex.z-dn.net/?f=S%27+%3D+-8%2A%5Cpi%2AR%5E2+%2B+8%2A%5Cpi%2AR+--%5C+%5Ctextgreater+%5C++0+%3D+-8%2A%5Cpi%2AR%5E2+%2B+8%2A%5Cpi%2AR)
Si despejamos tenemos 2 soluciones R = 0 y R = 1. Obviamente es la segunda pues se debe tener algún radio. Recordar VT = 10000 litros.
Ahora sustituimos en la ecuación de H para tener la altura.
![H = \frac{10000 - \frac{4}{3} * \pi * 1 }{\pi *1} = 3181.76 m H = \frac{10000 - \frac{4}{3} * \pi * 1 }{\pi *1} = 3181.76 m](https://tex.z-dn.net/?f=H+%3D+%5Cfrac%7B10000+-+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%2A+%5Cpi+%2A+1+%7D%7B%5Cpi+%2A1%7D+%3D+3181.76+m)
El radio y la altura para gasto mínimo de material son:
R = 1m y H = 3181,76m
Espero haberte ayudado.
Bien estamos ante un problema de optimización.
Primero busquemos el volumen total del tanque, el cual viene dado por: Volumen del cilindro y del la esfera, compuesta de los dos hemisferio.
Despejamos H en función de R:
Ahora planteamos el area total del tanque:
Sustituimos H y acomodamos la ecuación:
Derivamos y igualamos a cero para obtener el minimo:
Si despejamos tenemos 2 soluciones R = 0 y R = 1. Obviamente es la segunda pues se debe tener algún radio. Recordar VT = 10000 litros.
Ahora sustituimos en la ecuación de H para tener la altura.
El radio y la altura para gasto mínimo de material son:
R = 1m y H = 3181,76m
Espero haberte ayudado.
Respuesta dada por:
2
Respuesta:
E
Explicación paso a paso:
En el ejercicio anterior no simplificaron bien cuando reemplazaron H hace falta un R , las respuestas están en metros luego hay que convertir los litros a metros cúbicos
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