Question

Se quiere producir leche concentrada a partir de una leche que contiene un 3,8%de materia grasa y un 8,1% de extracto magro. El proceso incluye la separación de lagrasa en una centrífuga y la concentración de la leche parcialmente descremada en unevaporador.Si la nata producida en la centrífuga contiene un 55% de agua, 40% de grasa y5% de extracto magro, calcular cuánta leche será necesaria para producir 1000 kg de 14 Problemas Resueltos de Balances de Materialeche concentrada, con un 7% de grasa y un 18,1% de extracto magro. Determinartambién la nata y el agua que se obtendrán como residuo.

Answer 1

Antes de resolver el problema, debemos entender el proceso que se describe. 

Primero, tenemos leche que contiene 3,8% de materia grasa (que llamaremos MG) y 8,1% de extracto  magro (que llamaremos EM), el resto lo consideraremos acomo agua, es decir 88,1% es agua.  Esta leche al pasar por una centrifuga y obtendremos 2 cosas: nata y la leche descremada. 

La nata posee 40% de grasa, 5% de EM y 55% de agua.

Segundo, la leche descremada pasa por una evaporadora, la cual nos arrojara 2 cosas: vapor de agua y la leche concentrada. La cantidad de vapor de agua es pura,es  decir, 100% vapor de agua.  Y la leche concentrada posee  7% de MG, 18,1% de EM y 74,9% de agua.

Ahora, para resolver el problema, debemos realizar un balance general y para esto,le asignaremos una variable a cada una de las partes del proceso. De manera que:

a = leche prima será ; x = nata ; b = leche parcialmente descremada ; y = vapor de agua ;  z = leche concentrada. Vemos que a y b son las materias primas y las variables x,y,z son los productos que se obtienen.

Entonces, %a = %x + %y + %z. Esta será la ecuación del balance general y la aplicaremos a cada componente.  

Para el balance de grasa: 0,038*a = 0,4*x + 0*y + 0,07*z
Para el balance del extracto magro: 0,081*a = 0,05*x + o*y + 0,181*z
Para el balance de agua: 0,881*a = 0,55*x + 1*y + 0,749*z

Como ya conocemos el valor de z = 1000 Kg (cantidad de leche que queremos), reemplazamos y modificamos las ecuaciones.

Balance de grasa: 0,038*a - 0,4x = 70
Balance de EM: 0,081*a - 0,005x = 181
Balance de agua: 0,881*a - 0,55x - y = 749

Para resolver esto, realizamos el método de Gauss - Jordan:


$\left[\begin{array}{ccc}0,038&-0,4&0|070 \\0,081&-0,05&0 | 181\\0,881&-0,55&1| 749\end{array}\right]$

Multiplicaremos por factores las distintas filas, para sumar o restar entre ellas, hasta llegar a una solución para cada variable.  

Entonces, a la fila 2 le restamos 2,13*Fila1.
De manera que quede: 0; 0,808; 0 | 31,9

A la fila 3 le restamos 23,18*fila 1.
De manera que queda: 0; 8,7236;-1 | 873,6

Realizamos estas operaciones hasta que nos quede la solución:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0 | 2259\\0&1&0 | 39,6\\0&0&1 |1219\end{array}\right]$

Entonces, a = x + y + z nos quedaría de la forma: 2259 = 39,6 + 1219 + 1000.

Para concluir: Necesitaríamos 2259Kg de leche prima, y obtendríamos 39,6 Kg de nata, 1219 sería la cantidad de agua y 1000 Kg de leche concentrada.