Question

hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos (2,3)(4,-1)(5,2)

Answer 1

Interesante el ejercicio. Para hallar la solución se igualaron distancias de D respecto A, B y C, para que finalmente se resolvió mediante un sistema de ecuaciones 2x2. Igual te dejo la gráfica. 

Answer 2

Las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos son:

P(3, 1)

En la imagen se puede ver la ubicación en el plano cartesiano de los puntos.

Explicación:

Sea, A(2, 3) , B(4, -1) y C(5, 2)

P(x, y) es el punto que equidista de A, B y C;

Iniciar planteando un sistemas de ecuaciones;

Partiendo de la formula de distancia entre dos puntos;

d = √[(x₂ - x₁)²+(y₂ - y₁)²]

Distancia AP;

$d_{AP}$ =  √[(x - 2)²+(y - 3)²]

$d_{BP}$ =  √[(x - 4)²+(y + 1)²]

$d_{CP}$ =  √[(x - 5)²+(y - 2)²]

Relacionar las distancias;

$d_{AP}$ = $d_{BP}$

√[(x - 2)²+(y - 3)²] =  √[(x - 4)²+(y + 1)²]

(x - 2)²+(y - 3)² =  (x - 4)²+(y + 1)²

Aplicar binomio cuadrado: (a - b)² = a² -2ab +b²

(x - 2)² = x² -4x +4

(y - 3)² = y² -6y +9

(x - 4)² = x² -8x +16

(y + 1)² = y² +2y +1

Sustituir;

x² -4x +4 +  y² -6y +9 = x² -8x +16 +  y² +2y +1

Simplificar;

-4x +4 -6y +9 = -8x +16+2y +1

Agrupar términos semejantes;

-4x +8x -6y-2y = 16+1-9-4

Ec₁ : 4x - 8y = 4

Relacionar las distancias;

$d_{BP}$ = $d_{CP}$

√[(x - 4)²+(y + 1)²] = √[(x - 5)²+(y - 2)²]

(x - 4)²+(y + 1)² =  (x - 5)²+(y - 2)²

Aplicar binomio cuadrado: (a - b)² = a² -2ab +b²

(x - 4)² = x² -8x +16

(y + 1)² = y² +2y +1

(x - 5)² = x² -10x +25

(y - 2)² = y² -4y +4

Sustituir;

x² -8x +16 +  y² +2y +1 = x² -10x +25 + y² -4y +4

Simplificar;

-8x +16+2y +1 = -10x +25 -4y +4

Agrupar términos semejantes;

-8x +10x +2y +4y= 25+4-16-1

Ec₂ : 2x + 6y = 12

Ec₁ : 4x - 8y = 4

Ec₂ : 2x + 6y = 12

Despejar x de Ec₁;

x = (4+8y)/4

x = 1+2y

Sustituir x en Ec₂;

2(1+2y) + 6y = 12

2 + 4y + 6y = 12

10y = 10

y = 10/10

y = 1

 

Sustituir y en x;

x = 1+2(1)

x = 3

Puedes ver un ejercicio similar aquí: https://brainly.lat/tarea/5236848.