Question

Construya un sistema de ecuaciones lineales para determinar un polinomio cuadratico
p(x)=$a x^{2} +bx+c$ que satisfaga las condiciones: p(1)=f(1),  p'(1)=f'(1),   p''(1)=f''(1)
donde f(x)=$xe^{x-1}$.

Answer 1

Veamos.

Hacemos las derivadas.

p'(x) = 2 a x + b; p''(x) = 2 a

f'(x) = e^(x - 1) + x e^(x - 1) = (1 + x) e^(x - 1) 

f''(x) = e^(x - 1) + e^(x - 1) +x e^(x - 1) = (2 + x) e^(x - 1) 

Tablas de valores:

p(1) = a + b + c; f(1) = 1
p'(1) = 2 a + b; f'(1) = 2
p''(1) = 2 a; f''(1) = 3

Igualamos:
 
2 a = 3; a = 3/2
3 + b = 2; b = - 1
3/2 - 1 + c = 1; c = 1/2

p(x) = 3/2 x^2 - x + 1/2, 

Saludos Herminio