Question

Determina el valor de de dos numeros que su suma sea igual a 12 y el producto del primero por el cuadrado del segundo sea maximo , .

Answer 1

Hola.

x, y ------> Números

Ecuaciones:

$x+y = 12 \\ \\ f(x,y) = x*y^2$

$y = 12-x \\ \\ f(x) = x (12-x)^2 \\ \\ (12)^2-2(12)(x)+(x)^2 \\ \\ 144 - 24x +x^2 \\ \\ Reescribimos: x^2-24x+144 \\ \\ Reescribimos \ porque \ ya \ resolvimos \ el \ binomio \ al \ cuadrado: \\ \\ f(x)= x(x^2-24x+144x) \\ \\ Hacemos \ la \ distributiva \\ \\ f(x) = x^3-24x^2+144x \\ \\ Derivamos \ e \ igualamos \ a \ 0: \\ \\ f'(x) = 3x^2-48x+144 =0$
 $\\ \\ f'(x)=3x^2-48x+144 =0 \\ \\ Resolviendo \ por \ ecuacion \ cuadratica: \ \\ nos \ queda \\ \\ \frac{-\left(-48\right)\pm \sqrt{\left(-48\right)^2-4\cdot \:3\cdot \:144}}{2\cdot \:3} \\ \\ x=12, \boxed{x=4} \\ \\ Hacemos \ la \ segunda \ derivada: \\ \\ f''(x)= 6x-48 \\ \\ Reemplazamos: \\ \\ \boxed{Minimo: \ 6(12)-48 = 24} \\ \\ \boxed{Maximo: \ 6(4)-48 = -24} \\ \\ Ahora \ reemplazamos: \\ \\ y = 12-12 \\ \\ y = 0 \\ \\ y=12-4 \\ \\ \boxed{y=6}$

¡Espero haberte ayudado, saludos...!