Question

como se encuentra la segunda derivada de una función

Answer 1

Aplicando la regla para derivar un cociente de funciones, se obtiene 

F'(x)= [(1)(x²+4)-2x(x)]/(x²+4)² 
F'(x)= [x²+4-2x²]/(x²+4)² 
F'(x)= -(x²-4)/(x²+4)² 

Como se pretende encontrar los puntos críticos de la función, se iguala a 0 
-(x²-4)/(x²+4)²= 0 

Como las raíces de la función sólo dependen del numerador, se puede escribir como: 
-(x²-4)= 0 
x²-4= 0 
x²= 4 
|x|= 2 
x₁= 2 
x₂= -2 

Que son los puntos críticos para la primer derivada. 

Para encontrar la segunda derivada, se procede de la misma forma: 
F''(x)= [(x²+4)²(-2x)+ (x²-4)(2)(x²+4)(2x)] / (x²+4)⁴ 

Factorizando el numerador 
F''(x)= 2x(x²+4)[(x²+4)(-1)+ (x²-4)(2)] / (x²+4)⁴ 

F''(x)= 2x[-x²-4+2x²-8]/(x²+4)³ 

F''(x)= 2x(x²-12)/(x²+4)³ 

Como de nuevo las raíces de la función depende exclusivamente del numerador, se iguala a 0 
2x(x²-12)= 0 

Entonces o 
2x= 0 
ó 
x²-12= 0 

Por lo que 
x₁= 0 
ó 
x²= 12 
|x|= 2√3 
x₂= 2√3 
x₃= -2√3 

Por lo que lo puntos críticos de la segunda derivada son 0, 2√3, -2√3 


f(x)= x+ √(1-x) 
Se tiene una suma de dos funciones, por lo que su derivada es la suma del derivada de cada una. Aplicando la regla de la cadena para la función que contiene la raíz: 

f'(x)= 1- 1/2√(1-x) 

Se pretende encontrar los puntos donde la función es 0 o aquellos que aunque pertenezcan al dominio de la función original, provocan una indeterminación en la derivada. Es fácil ver que x= 1 es un punto crítico por esta razón. Después, se tiene que 
1- 1/2√(1-x)= 0 
1= 1/2√(1-x) 
2√(1-x)= 1 
√(1-x)= 1/2 
1-x= 1/4 
-x= 1/4-1 
-x= -3/4 
x= 3/4 

Por lo que x=1 y x= 3/4 sin puntos críticos de la primer derivada. 

Para la segunda derivada, se procede igual: 

f''(x)= 0- 1/4√(1-x)³ 
f''(x)= -1/4√(1-x)³ 

Como la función niña podrá ser 0 porque no hay una variable en el numerador, sólo se considera los puntos que causen una indeterminación en la función y que pertenezcan al dominio de la función original, es decir, x= 1