Desde el puntoA(−2,−1) se traza la tangente a la circunferencia x^2+y^2−6x−4y−3=0. Si B e sel punto de tangencia, encuentre la longitud del segmento AB.
Respuestas
Respuesta dada por:
6
Primero tenemos que hallar el centro y el radio de la circunferencia.
recordemos que la ecuacion de la circunferencia esta dada por
(x -h)² + (y -k)² = r²
donde "(h,k) serán las coordenadas del centro.
como la ecuacion del ejercicio esta dada de la forma
x² + y² -6x -4y -3 = 0
donde D= -6 E= -4 F= -3
aplicamos la formula
h = -D / 2 k = -E / 2 remplazamos valores
h = -(-6) / 2 k = -(-4) / 2
h = 6 /2 k = 4 / 2
h = 3 k = 2
o sea que las coordenadas del centro serán c = (3, 2)
el radio lo podemos obtener aplicando:
r = √D² + E² - 4F / 2 remplazamos
r = √(-6)² + (-4)2 - 4(-3) / 2
r = √ 36 + 16 +12 / 2
r = √64 / 2
r = √32
r = 4
ahora ya tenemos las coordenadas del centro (3, 2) y el valor del radio = 4
ahora podemos trazar la gráfica y analizar. si te fijas con los puntos A, B, C podemos formar un triangulo rectangulo del cual tenemos las coordenadas de los punto A(-2, -1) C(3, 2) B= ?
Con los puntos A Y C podemos hallar la distancia del cateto AC aplicando formula distancia entre dos puntos
d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² remplazamos
d = √(3 -(-2))² + (2 -(-1))²
d = √(3 + 2)² + (2 + 1)²
d = √(5)² + (3)²
d = √25 + 9
d = √34
d = 5,83
Con este dato tenemos el valor de dos catetos de nuestro triangulo rectángulo cateto AC = 5,83 y cateto BC = 4 ya que corresponde al valor del radio. para hallar el valor o la distancia de AB y que es la pregunta del ejercicio podemos aplicar pitagoras.
h² = a² + b² sustituimos valores de acuerdo al ejercicio
AC² = BC² + AB² remplazamos valores conocidos
5,83² = 4² + AB² despejamos AB
5,83² - 4² = AB²
33,98 - 16 = AB²
17,98 = AB
√17,98 = AB
4,24 = AB
R/ la longitud del segmento AB es 4,24 anexo grafico
nota: desde un punto exterior a una circunferencia siempre hay dos rectas tangentes que la tocan en dos puntos diferentes, la distancia del punto externo al punto tangencial seran del mismo valor.
recordemos que la ecuacion de la circunferencia esta dada por
(x -h)² + (y -k)² = r²
donde "(h,k) serán las coordenadas del centro.
como la ecuacion del ejercicio esta dada de la forma
x² + y² -6x -4y -3 = 0
donde D= -6 E= -4 F= -3
aplicamos la formula
h = -D / 2 k = -E / 2 remplazamos valores
h = -(-6) / 2 k = -(-4) / 2
h = 6 /2 k = 4 / 2
h = 3 k = 2
o sea que las coordenadas del centro serán c = (3, 2)
el radio lo podemos obtener aplicando:
r = √D² + E² - 4F / 2 remplazamos
r = √(-6)² + (-4)2 - 4(-3) / 2
r = √ 36 + 16 +12 / 2
r = √64 / 2
r = √32
r = 4
ahora ya tenemos las coordenadas del centro (3, 2) y el valor del radio = 4
ahora podemos trazar la gráfica y analizar. si te fijas con los puntos A, B, C podemos formar un triangulo rectangulo del cual tenemos las coordenadas de los punto A(-2, -1) C(3, 2) B= ?
Con los puntos A Y C podemos hallar la distancia del cateto AC aplicando formula distancia entre dos puntos
d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² remplazamos
d = √(3 -(-2))² + (2 -(-1))²
d = √(3 + 2)² + (2 + 1)²
d = √(5)² + (3)²
d = √25 + 9
d = √34
d = 5,83
Con este dato tenemos el valor de dos catetos de nuestro triangulo rectángulo cateto AC = 5,83 y cateto BC = 4 ya que corresponde al valor del radio. para hallar el valor o la distancia de AB y que es la pregunta del ejercicio podemos aplicar pitagoras.
h² = a² + b² sustituimos valores de acuerdo al ejercicio
AC² = BC² + AB² remplazamos valores conocidos
5,83² = 4² + AB² despejamos AB
5,83² - 4² = AB²
33,98 - 16 = AB²
17,98 = AB
√17,98 = AB
4,24 = AB
R/ la longitud del segmento AB es 4,24 anexo grafico
nota: desde un punto exterior a una circunferencia siempre hay dos rectas tangentes que la tocan en dos puntos diferentes, la distancia del punto externo al punto tangencial seran del mismo valor.
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