Question

Considerar Z=(3,4,5)Z=(3,4,5), P=(1,1,1)P=(1,1,1), Q=(1,2,3)Q=(1,2,3) y R=(0,1,0)R=(0,1,0). La distancia de ZZ al plano que pasa por PP, QQ y RR es:

Answer 1

Considerar Z=(3,4,5), P=(1,1,1), Q=(1,2,3) y R=(0,1,0). La distancia de Z al plano que pasa por P, Q y R es:
la solución en la imagen 

Answer 2

Considerando los puntos Z, P, Q y R. Se calculo la distancia de Z al plano que pasa por los puntos P, Q y R es:

$d(Z,\pi ) = \frac{2\sqrt{6} }{3}$

Explicación:

Datos:

Z=(3,4,5)  

P=(1,1,1),  

Q=(1,2,3)  

R=(0,1,0)

Un plano (π) en R₃, tiene la siguiente forma:

π: Ax + By + Cz +D = 0

La construcción de la ecuación de un plano en R₃, se hace con un producto vectorial;

$\pi: \left[\begin{array}{ccc}x-x_{1} &y-y_{1} &z-z_{1} \\x_{2} -x_{1}&y_{2} -y_{1}&z_{2} -z_{1}\\x_{3} -x_{1}&y_{3} -y_{1}&z_{3} -z_{1}\end{array}\right]$

Siendo;

P=(1,1,1) = (x₁,y₁,z₁)

Q=(1,2,3) = (x₂,y₂,z₂)

R=(0,1,0) = (x₃,y₃,z₃)

x-x₁= x-1

y-y₁= y-1

z-z₁= z-1

x₂-x₁= 1-1 = 0

y₂-y₁= 2-1 = 1

z₂-z₁= 3-1 = 2

x₃-x₁= 0-1 = -1

y₃-y₁= 1-1 = 0  

z₃-z₁= 0-1 = -1

Sustituir;

$\pi: \left[\begin{array}{ccc}x-1 &y-1 &z-1 \\0&1&2\\-1&0&-1\end{array}\right]$= 0

(x-1)[1(-1) - 0] - ( y-1)[0-(-1)(2)] + (z-1)[0-(-1)(1)] = 0

(x-1)[-1] - ( y-1)[2] + (z-1)[1] = 0

-x+1 - 2y+2 + z-1  = 0

Multiplicar por -1 a ambos lados;

(-1) [-x+1 - 2y+2 + z-1]  = 0(-1)

π: x + 2y - z - 2 = 0

Teniendo el plano, se calcula la distancia entre el punto Z y el plano π;

Se aplica la formula de distancia;

$d(Z,\pi ) = \frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2} } }$

Siendo;

A = 1

B = 2  

C =  -1

D = -2

Z=(3,4,5) = (x₀,y₀,z₀)

Sustituir;

$d(Z,\pi ) = \frac{|1(3)+(2)(4)+(-1)(5) +(-2)|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}} }$

$d(Z,\pi ) = \frac{|3+8-5-2|}{\sqrt{1+4+1} }$

$d(Z,\pi ) = \frac{|4|}{\sqrt{6} }$

$d(Z,\pi ) = \frac{2\sqrt{6} }{3}$

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