Question

9. Hallar el valor medio de la función f(x)=x√(x^2+16) en el intervalo [0,3].

Answer 1

El valor medio de una función, viene llevada a cabo como:

                                      b
fProm = [ 1 / ( b - a ) ] ∫ f(x) dx
                                     a

Planteando la función con f(x):

                                     3
fProm = [ 1 / ( 3 - 0 ) ] ∫ ( x √(x^2 + 16) ) dx
                                    0  
                          3
fProm = ( 1/3 ) ∫ ( x √ (x^2 + 16) ) dx
                         0

Queremos generar la integral inmediata:

∫ x^(r) dx = ( 1 / r + 1 ) x^( r+1 ) 

Para generar el diferencial, vamos a multiplicar y dividir la función por 2:

                            3
fProm = ( 1 / 3 ) ∫ ( x√x^2 + 16 ) dx (2 / 2)
                           0
                               3
fProm = ( 1/ 3*2 ) ∫ (x^2 + 16)^(1/2) d(x^2 + 16)   ⇒ d(x^2 + 16) = 2x
                              0
Al obtener la integral de forma directa:

                                                                                        3 
fProm = ( 1/6 ) [ 1 / (1/2 + 1) ] ( x^2 + 16 )^(1/2 + 1) /
                                                                                       0
                                                                           3
fProm = ( 1/6 ) [ 1 / (3/2) ] ( x^2 + 16 )^(3/2) /
                                                                          0
                                                                     3
fProm = ( 1/6 ) ( 2/3 ) ( x^2 + 16 )^( 3/2) /
                                                                    0

fProm = ( 1/9 ) { [ (3)^2 + 16 ]^(3/2) - [ (0)^2 + 16 ]^(3/2) }

fProm = ( 1/9 ) { [ 9 + 16 ]^(3/2) - √(16)^3 }

fProm = (1/9) { √(25)^3  - √(16)^3  }

fProm = (1/9) { 125 - 64 }

fProm = (1/9)(61)

fProm = 61/9 ⇒ valor medio de f(x)

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