Question

Alguien me puede ayudar en cálculo?

Answer 1

lim √(x²+x+1) - √(x²-x+1)  = 1
x→ +∞

Trabajemos la expresión √(x²+x+1) - √(x²-x+1):

Multiplicando por el modulo del producto (1) como
(√(x²+x+1) + √(x²-x+1))/(√(x²+x+1) + √(x²-x+1)):

√(x²+x+1) - √(x²-x+1)
= √(x²+x+1) - √(x²-x+1) (√(x²+x+1) + √(x²-x+1))/(√(x²+x+1) + √(x²-x+1))

En el numerador obtenemos la factorización de una diferencia de cuadrados:

= √(x²+x+1) - √(x²-x+1) (√(x²+x+1) + √(x²-x+1))/(√(x²+x+1) + √(x²-x+1))

= (√(x²+x+1))² - (√(x²-x+1))² / (√(x²+x+1) + √(x²-x+1))

Desarrollando las operaciones en el numerador y factorizando un x² en cada radical:

(√(x²+x+1))² - (√(x²-x+1))² / (√(x²+x+1) + √(x²-x+1))
= x²+x+1 - x²+x-1 /(√x²(1+1/x+1/x²) + √x²(1-1/x+1/x²))
= 2x/ x(√(1+1/x+1/x²) + √(1-1/x+1/x²))

Volviendo al limite:

lim √(x²+x+1) - √(x²-x+1)  =
x→ +∞

lim 2/(√(1+1/x+1/x²) + √(1-1/x+1/x²)) 
x→ +∞

Notemos que cuando x tiende a infinito tanto 1/x como 1/x² van para 0.

Luego:

lim 2/(√(1+1/x+1/x²) + √(1-1/x+1/x²)) =2/(√(1+0+0) + √(1-0+0)) =2/(√1+√1)
x→ +∞

= 2/2 = 1