Demostrar que si dos elipses tienen la misma excentricidad, las longitudes de sus semiejes mayor y menor son proporcionales..
Respuestas
Dos cantidades van a ser directamente proporcionales si aumentan o disminuyen en la misma razón o proporción.
En otras palabras:
Si A aumenta ---> B aumenta (y viceversa)
Si A disminuye---> B dismuye (y viceversa)
Esta relación se denota con frecuencia
a/b = c/d
Otra cosa muy importante para realizar una demostración correctamente, se necesita tomar nuestra hipótesis (idea generada en base a una suposición) y llegar a nuestra tesis (Hecho que se deseaba demostrar).
Para este caso tenemos:
Hipótesis : Las dos excentricidades son iguales.
Tesis : Las longitudes de sus semiejes mayor y menor son proporcionales. En otras palabras b1²/ a1² = b2² / a2²
(Esto es lo que se desea demostrar, es a lo que queremos llegar)
Entonces comencemos con la demostración.
Consideremos dos elipses, no importa si son verticales u horizontales.
Sabemos que esta figura del plano está conformada por tres elementos importantes
Semieje mayor : a
Semieje mayor : b
Semieje focal : c
Sean e1 y e2 las excentricidades de las distintas elipses, sabemos que estas son iguales por hipótesis, es decir
e1 = e2
Elevando al cuadrado ambos miembros
(e1)² = (e2)²
Sabemos que la excentricidad de cualquier elipse es de la forma
e = c / a
Sustituyendo en la expresión anterior
(c1 / a1)² = (c2 / a2)²
Repartimos la potencia
c1² / a1² = c2² / a2² ........ 1)
Cualquier elipse cumple lo siguiente
a² = b² + c², despejamos c
c² = a² - b², sustituimos este resultado en 1)
(a1² - b1²) / a1² = (a2² - b2²) / a2²
Podemos repartir el denominador en ambas fracciones y obtenemos:
a1² /a1²- b1²/ a1² = a2²/a2² - b2² / a2²
Se ve claramente que se forma un 1 en ambos miembros de la igualdad.
1 - b1²/ a1² = 1 - b2² / a2²
El uno se "cancela" en ambos lados
Multiplicamos por -1 en ambos miembros y obtenenos nuestra tesis.
b1²/ a1² = b2² / a2²
Esto quiere decir que sus semiejes mayor y menor son proporcionales por lo que he concluido la demostración.
¿Dudas?
Se demuestra que los semiejes son proporcionales
La excentricidad de una elipse es igual a la semidistancia focal entre el semieje mayor:
e = c/a
Ahora bien sea e la excentricidad de las elipses, sea a y a' los semieje mayor respectivamente, sea b y b' los semieje menor respectivamente, y sean c y c' las distancias semi focal, entonces tenemos que:
e = c/a
e = c'/a'
⇒ c/a = c'/a'
⇒ a'c = c'a
a' = (c'/c)a
a' = k1*a, k1 una constante, entonces son proporcionales los semi eje mayor y menor
e² = c²/a² ⇒ e² = (a² - b²)/a² ⇒ e² = 1 - b²/a² ⇒ b²/a² = 1 - e²
e² = c'²/a'² ⇒ e² = (a'² - b'²)/a'² ⇒ e² = 1 - b'²/a'² ⇒ b'²/a'² = 1 - e²
Igualamos:
b²/a² = b'²/a'²
Como todos los lados son positivos, podemos aplicar raíz cuadrada:
b/a = b'/a'
ba' = b'a
a' = b'/b*a
a' = k2*a, k2 una constante, entonces son proporcionales
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