Question

hallar el valor de : |2x/x+1| > 6

Answer 1

1) Debes descomponer el valor absoluto, es decir saber para que valores de      x el resultado de aplicar valor absoluto es igual y para que valores de x al      aplicar valor absoluto antepones el signo menos.

Cuando  2x/x+1 >0 

2x/x+1 = f(x) /g(x) donde  f(x) = 2x y g(x) = x+1 
Para que la expresión sea >0 , f(x) y g(x) ambos deben ser o positivos o negativos.

Ambos positivos 
2x>0 ∧ x+1>0

x>0 ∧ x>-1 Ambos intervalos se interceptan en x>0

Ambos negativos 
2x<0 ∧ x+1<0
x<0 ∧ x<-1 Ambos intervalos se interceptan en x<-1

Entonces 2x/x+1 >0  ocurre en x>0 y x<-1

2) Resolvemos la inecuación sin valor absoluto 

2x/x+1 > 6

2x/x+1 -6 >0

(2x-6x-6) / (x+1) >0
(-4x-6 ) / (x+1) >0

Así mismo para que sea positivo debe ocurrir que 
(-4x-6 )>0 ∧ (x+1)>0
x<-3/2       ∧   x>-1 No ocurre intersección

(-4x-6 )<0 ∧ (x+1)<0
 
x>-3/2      ∧   x<-1     La intersección ocurre en -3/2<x<-1

La intersección entre x<-1 ∧ -3/2<x<-1 ∧ x>0 es -3/2<x<-1 


3) Cuando 2x/x+1<0
Ocurre en     -1<x<0 

4) La inecuación quitando el valor absoluto es 

-(2x/x+1) > 6
2x/x+1 < -6
(2x+6x+6) /(x+1) <0
(8x+6) /(x+1) <0

Para que sea la expresión negativa un término debe ser positivo y el otro negativo.
 
(8x+6) >0 ∧ (x+1)<0
x>-3/4     ∧     x<-1   No hay intersección 

(-4x-6) <0 ∧ (x+1)>0
x<-3/4      ∧ x>-1  Intersección ocurre en  -1<x<-3/4

Por último hallamos la intersección entre -1<x<-3/4 y -1<x<0  que ocurre en 
-1<x<-3/4


Por lo tanto la respuesta es
(-3/2<x<-1) U (-1<x<-3/4)