Question

Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = (3+x)/e^x , después de determinar la derivada te sugerimos que saques e^x como factor común, para facilitar el cálculo de sus raíces.

Answer 1

Hay una manera muy divertida de derivar eso, veamos,

$f(x)=\dfrac{3+x}{e^{x}}\\\ln(f(x))=\ln\left(\dfrac{3+x}{e^{x}}\right)\\\ln(f(x))=\ln\left(3+x\right)-\ln\left(e^{x}\right)\\\ln(f(x))=\ln\left(3+x\right)-x\\\textrm{derivando a ambos lados:}\\\\\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)f'(x)=\dfrac{1}{3+x}-1\\\\f'(x)=\left(\dfrac{1}{3+x}-1\right)\dfrac{3+x}{e^{x}}$

y así de fácil fue...ahora, para obtener los intervalos de monotonía, habrá que obtener el punto críticos respectivo, igualando a cero

$\left(\dfrac{1}{3+x}-1\right)\dfrac{3+x}{e^{x}}=0\\\left(\dfrac{1}{3+x}-1\right)=0\hspace{5mm}\dfrac{3+x}{e^{x}}=0$

y de una vez con el segundo factor hallamos las raíces de f, si te das cuenta que es el segundo factor es justamente f(x)...jaja...bien, entonces

$x=-2,\hspace{5mm}x=-3$

entonces hay un punto donde la pendientes de la recta tangente vale 0, y el segundo término x=-3, nos indica una raíz de la función.

Ahora si quieres determinar la monotnia tendrás que evaluar el signo de la primera derivada, consderando los intervalos del dominio.

El dominio de f(x) son todos los reales, entonces, los intervalos de estudio por comodida serán

 $(-\infty,-3)\cup(-3,-2)\cup(2,0)\cup(0,+\infty)$

tecnicamente no es necesario los segundo y tercer intervlaos por que es lo mismo pero..es bueno ser lo más detallado posible, entonces...

intentalo terminar