Question

Necesito el recorrido de esta funcion real por favor

Answer 1

Para determinar el recorrido primero debes conocer el dominio de la función .

Dominio 
Buscamos las "x" para las cuales f(x)  no esta definida. Para este caso esas "x" son cuando hacen al argumento negativo  (recordad que el argumento de toda raíz debe ser  + si estamos trabajando con reales ) o cuando el argumento es ∞ ( osea √∞) , entonces:

(11-7x) =0  ⇒ x = 11/7 con esta x ocurre que f(11/7) = √∞
 Ahora, para que el argumento sea + los términos (4x-3) y (11-7x) deben ser:

AMBOS POSITIVOS
(4x-3)≥0   ∧  (11-7x)>0
x≥3/4                  x<11/7
                                               x≥3/4   
-∞ ------------------(3/4)lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll +∞

                           x<11/7
-∞ lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll(11/7)---------- +∞

                                        
-∞ -------------------(3/4)llllllllllllllllllllllllll(11/7)---------- +∞

Un primer intervalo del dominio es [3/4, 11/7) , nota que no incluye a 11/7 por lo expuesto arriba.

AMBOS NEGATIVOS

(4x-3)≤0   ∧  (11-7x)<0
x≤3/4                  x>11/7

            x≤3/4   
-∞ lllllllllllllllllllllllllllllll(3/4)--------------------------------------- +∞

                                                                           x>11/7
-∞ ---------------------------------------------(11/7)llllllllllllllllllllll+∞

                                        
-∞ llllllllllllllllllllll(3/4)--------------------------(11/7)lllllllllllllllllll+∞

Como no ocurre intersección entonces significa que nunca ambos términos son negativos a la vez .
Entonces el dominio de f(x) es [3/4, 11/7).
Ahora que sabemos el dominio remplazamos los extremos en la función y obtenemos el recorrido 

f(3/4) = 0 
f(11/7) = ∞

Entonces el recorrido de f(x) está en el intervalo [0,∞).

Te dejo la gráfica para que corrobores.