Se construye una caja sin tapa con una pieza rectangular que mide 14 por 22 pulgadas.cortando en cada esquina cuadrados del mismo tamaño de lado x,y doblando después los 4 extremos hacia arriba. A) determine el valor de x que maximiza el volumen
Respuestas
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El valor de "x", que maximiza el volumen de la caja sin tapa, es:
2.8 pulgadas
¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?
Un prisma es un poliedro que se caracteriza por tener una base rectangular, además cuatro caras laterales y ocho vértices.
El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la altura.
V = Ab × alto
Siendo;
- Ab: área de la base
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuál es el valor de x que maximiza el volumen de la caja?
Siendo;
- largo = 22 - 2x
- ancho = 14 - 2x
- alto = x
Sustituir en el volumen:
V(x) = x(22-2x)(14 -2x)
V(x) = x(308 - 44x - 28x + 4x²)
V(x) = 308x - 72x²+ 4x³
Aplicar primera derivada;
V'(x) = d/dx(308x - 72x²+ 4x³)
V'(x) = 308 - 144x + 12x²
Aplicar segunda derivada;
V''(x) = d/dx(308 - 144x + 12x²)
V''(x) = -144 + 24x
Igualar a cero la primera derivada;
12x² - 144x + 308 = 0
Aplicar la resolvente;
x₁ = 9.22
x₂ = 2.8 pulgadas
Evaluar;
V(max) = 308(2.8) - 72(2.8)²+ 4(2.8)³
V(max) = 385.72 pies cuadrado
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#SPJ2
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