Question

Se construye una caja sin tapa con una pieza rectangular que mide 14 por 22 pulgadas.cortando en cada esquina cuadrados del mismo tamaño de lado x,y doblando después los 4 extremos hacia arriba. A) determine el valor de x que maximiza el volumen

Answer 1

Por criterio de segunda derivada si sale negativo es porque es máximo , si sale positivo es mínimo .

Answer 2

El valor de "x", que maximiza el volumen de la caja sin tapa, es:

2.8 pulgadas

¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?

Un prisma es un poliedro que se caracteriza por tener una base rectangular, además cuatro caras laterales y ocho vértices.

El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la altura.

V = Ab × alto

Siendo;

• Ab: área de la base

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

¿Cuál es el valor de x que maximiza el volumen de la caja?

Siendo;

• largo = 22 - 2x
• ancho = 14 - 2x
• alto = x

Sustituir en el volumen:

V(x) = x(22-2x)(14 -2x)

V(x) = x(308 - 44x - 28x + 4x²)

V(x) = 308x - 72x²+ 4x³

Aplicar primera derivada;

V'(x) = d/dx(308x - 72x²+ 4x³)

V'(x) = 308 - 144x + 12x²

Aplicar segunda derivada;

V''(x) = d/dx(308 - 144x + 12x²)

V''(x) = -144 + 24x

Igualar a cero la primera derivada;

12x² - 144x + 308 = 0

Aplicar la resolvente;

$x_{1,2}=\frac{144\pm\sqrt{144^{2}-4(12)(308)}}{2(12)}\\\\x_{1,2}=\frac{144\pm\sqrt{5952}}{24}\\\\x_{1,2}=\frac{144\pm8\sqrt{93}}{24}$

x₁ = 9.22

x₂ = 2.8 pulgadas

Evaluar;

V(max) = 308(2.8) - 72(2.8)²+ 4(2.8)³

V(max) = 385.72 pies cuadrado

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