Question

Un rectángulo de diagonal 40cm tiene un área de 768cm^{2} .Determine las dimensiones del rectángulo

Answer 1

Veamos. Sean b y h la base y la altura del rectángulo.
El área del mismo es A = b.h = 768 (1)
Por otro lado la diagonal es la hipotenusa del triángulo cuyos catetos son los lados.

Luego 40^2 = 1600 = b^2 + h^2 (2) con lo cual tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas entre (1) y (2). Debe resolverse por sustitución. 

h = 768 / b, que reemplazamos en la otra ecuación:

1600 = b^2 + (768 / b)^2; multiplicamos todo por b^2:

1600 b^2 = b^4 + 589824; esta ecuación de denomina bicuadrada.

Hacemos la sustitución: x = b^2 y reemplazamos:

1600 x = x^2 + 589824; reordenamos:

x^2 - 1600 x + 589824 = 0; ecuación de segundo grado en x, cuyas soluciones son:

x = 1024; x = 576:

b = 32, b = 24

Podemos intercambiar base por altura sin inconveniente.

b = 32, h = 24

Verificamos. A = 32 . 24 = 768; 32^2 + 24^2 = 1600 = 40^2

Saludos. Herminio

Answer 2

Solución:
Sea .................... b= base del rectángulo y h= altura del rectángulo
..._____________________
...|............................../      |
...|...................../               |
...| ............./                      |
...|/____________________|
Esas es la gráfica del rectángulo con su diagonal:
D= 40 cm
A= 768 cm^2

Sabemos que por el Teorema de Pitágoras

=> D^2 = b^2 + h^2
=> (40)^2 = b^2 + h^2

Ahora el área:

=> a = b x h

=> b x h = 768

Despejando "h" => h = 768 / b
Con este valor de "h" se reemplaza en el Teorema de Pitágoras:

=> (40)^2 = b^2 + (768/b)^2

=> 1600= b^2 + 589824/b^2

=> 1600 = (b^4 + 589824) / b^2

=> 1600b^2 = b^4 + 589824

=> b^4 - 1600b^2 + 589824 = 0 ... (ecuación bicuadrada)

Reemplazando b^2 = x

=> x^2 - 1600x + 589824 = 0

=> (x - 1024) ( x - 576) = 0
Teorema del factor nulo:

=> x - 1024 = 0
=> x(1) = 1024

=> x - 576 = 0
=> x = 576
.........................................._____
ahora b^2 = 1024 => b(1) = V(1024) => b(1) = 32
.........................................____
.........b^2 = 576 => b(2) = V(576) => b(2) = 24
Luego tenemos dos respuestas para la base, luego para la altura sera dos también

=> h = 768 / b

=> h(1) = 768 / 32
=> h(1) = 24

=> h(2) = 768 / 24
=> h(2) = 32

Respuesta: hay cuatro respuesta para este rectángulo:
Primera: base= 32 cm x altura= 24 cm 
Segunda: base = 24 cm x altura = 32 cm

Espero haberte colaborado, si la respuesta te ayudo espero que la escojas como la mejor.Éxito en tus estudios