Question

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funcion f(x)=4x+x^2en los intervalos [-2,2;-2]y[-2;-18]

Answer 1

Hola, haber tienes que analizar la monotonía en cada intervalo, primero escojamos el intervalo $[-2,2;-2]$, entonces empezas suponiendo $x_{1},x_{2}\in I$, tal que,

$x_{1}\ \textless \ x_{2}$

ahora, necesitas tener la "equis", en un solo lugar no en dos, entonces,
 
$f(x)=4x+x^{2}=(x+2)^{2}-4$

listo, ahora sí hay que arma la función, enotnces,

$x_{1}\ \textless \ x_{2}\\x_{1}+2\ \textless \ x_{2}+2\\(x_{1}+2)^{2}\ \textgreater \ (x_{2}+2)^{2}\\(x_{1}+2)^{2}-4\ \textgreater \ (x_{2}+2)^{2}-4\\f(x_{1})\ \textgreater \ f(x_{2})$

por lo tanto decimos que, la función es decreciente, en ese intervalo, ahora en segundo intervalo, tienes,

$x_{1}\ \textless \ x_{2}\\x_{1}+2\ \textless \ x_{2}+2\\(x_{1}+2)^{2}\ \textless \ (x_{2}+2)^{2}\\(x_{1}+2)^{2}-4\ \textless \ (x_{2}+2)^{2}-4\\f(x_{1})\ \textless \ f(x_{2})$

entonces, la función es creciente...

Y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas, adicional toma en cuenta que el sentido de la desigualdad cambia en el primer intervalo porque $x_{1},x_{2}$ son negativos por pertenecer al intervalo negativo, en el segundo caso, al momento de elevar al cuadrado no cambia el sentido de la desigualdad porque $x_{1},x_{2}$ son positivos por pertenecer a un intervalo puramente positivos.

Saludos,
Santiago Seeker

Answer 2

RESPUESTA:

Para resolver este ejercicio debemos buscar los puntos máximos y mínimos de la función, para ello derivaremos, tenemos:

f(x) = 4x + x²

f'(x) = 4 + 2x

f''(x) = 4

Por tanto, buscamos el punto critico.

f'(x) = 0

4+ 2x = 0

x = -2

Observemos que la segunda derivada siempre será positiva, por tanto, x = -2 es un mínimo. Lo que nos indica que:

• (-∞,-2] → DECRECE
• [-2, +∞) → CRECE

Ahora, podemos concluir que:

• [-2.2,-2] →DECRECE
• [-2,18] → CRECE

Adjunto podemos ver la gráfica.