Question

por favor me puedes colaborar con esta pregunta de ecuaciones diferenciales

Answer 1

sea

$\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}\\ \\ \\ y'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}\\ \\ \\ y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\\ \\ \\ \texttt{As\'i tenemos la EDO:} \\ \\ \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}-2x\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}+8\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}=0 \\ \\ \\ \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}-\sum_{n=1}^{\infty}2na_nx^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}8a_nx^{n}=0$


$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty}2na_{n}x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}8a_nx^{n}=0 \\ \\ \\ 2a_2+\sum_{n=1}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty}2na_{n}x^{n}+8a_0+\sum_{n=1}^{\infty}8a_nx^{n}=0 \\ \\ \\ 8a_0+2a_2+\sum_{n=1}^{\infty}[(n+2)(n+1)a_{n+2}-2na_n+8a_n]x^n=0$


$\begin{cases} a_2=-4a_0=-12\\ (n+2)(n+1)a_{n+2}-(2n-8)a_n=0&, n\geq 1 \end{cases}\\ \\ \\ a_{n+2}=\dfrac{2n-8}{(n+1)(n+2)}a_n \\ \\ \texttt{veamos...}\\ \\ \text{con }n=1\longrightarrow a_3=-a_1=0\\ \\ \text{con }n=2\longrightarrow a_4=-\dfrac{1}{3}a_2=\dfrac{4}{3}a_0=4\\ \\ \\ \text{con }n=3\longrightarrow a_5=0\\ \\ \\ \text{con }n=4\longrightarrow a_6=0\\ \\ \\ \text{con }n=5\longrightarrow a_7=0\\ \\ \\ \text{con }n=6\longrightarrow a_8=0\\ \\ \vdots\\ \\ y=3+0x-12x^2+0x^3+4x^4+0x^5+0x^6\cdots$


                                      $\boxed{\boxed{y=3-12x^2+4x^4}}$