Question

Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de
c. , .

Answer 1

Para el intervalo [−1, 0]
f(-1) = -1 - (-1)^3 = 0
f(0) = 0 - (0)^3 = 0

Podemos observar que: f(-1) = f(0)
Entonces hay un valor c tal que f'(c) = 0

Para encontrarlo igualamos la derivada a 0:
f'(x) = 1 - 3x^2 = 0
Despejamos x:
$x = \frac{1}{ \sqrt{3} }$
(valor descartado por no pertenecer al intervalo [−1, 0])
$x = - \frac{1}{ \sqrt{3} }$ 
(Valor aceptado por pertenecer al intervalo)
Por lo tanto:
c = 
$- \frac{1}{ \sqrt{3} }$ 



Para el intervalo [0, 1]
f(-1) = 0 - (0)^3 = 0
f(0) = 1 - (1)^3 = 0

Podemos observar que: f(0) = f(1)
Entonces hay un valor c tal que f'(c) = 0

Para encontrarlo igualamos la derivada a 0:
f'(x) = 1 - 3x^2 = 0
Despejamos x:
$x = - \frac{1}{ \sqrt{3} }$ 
(valor descartado por no pertenecer al intervalo [0, 1])
$x = \frac{1}{ \sqrt{3} }$ 
(Valor aceptado por pertenecer al intervalo)

Por lo tanto:
c = 
$\frac{1}{ \sqrt{3} }$