Question

11) Un gallinero es afectado por una epidemia. A partir del instante en que se detectó el mal, se empezó a atacar. La mortalidad diaria se dio de acuerdo a la siguiente ley: N(t)=–t2+8t+9. N(t) es el número de muertes diarias.
a) ¿Cuántos animales murieron el día que se detecto el mal?
b) ¿Qué día se produjo la mortalidad máxima? ¿Cuál fue este número?
c) ¿Cuánto tiempo duró la plaga desde el día en que se detectó?
d) Si el modelo matemático rige al tiempo pasado, ¿qué día se supone que empezó la epidemia?
e) ¿Grafique la función, indicando los puntos más importantes de ella de acuerdo a los valores obtenidos de las preguntas anteriores?

Answer 1

Se puede observar que la función es una parábola abierta hacia abajo.
De la forma: ax²+bx+c, de donde:
a = -1
b = 8
c = 9

a) Cuando se detecto es para el día 0, por lo tanto: t=0. Evaluando:
N(0) = -(0)²+8(0)+9 = 9

Respuesta: 9 muertes.

b) Como podemos observar es una parábola abierta hacia abajo, ya que el coeficiente que acompaña a t² es negativo (a = -1). Por lo tanto hay un valor máximo en la parte superior de la parábola, el cual viene dado por el vértice de la forma v(h,k):
Donde:
$\displaystyle h=\frac{-b}{2a}$
$\displaystyle k=N(h)$ 
Para nuestro caso:
$\displaystyle h=\frac{-8}{2\cdot-1} = \frac{-8}{-2} = 4$
$k=N(4) = -(4)^2+8(4)+9 = 25$

h = 4  (Días)
k = 25 (Muertes)

En el día 4 se produjo la máxima mortalidad.
Con un total de 25 muertes.

c) Al ser una parábola abierta hacia abajo con un vértice con k distinto de 0, podemos asegurar que corta dos veces el eje horizontal. Para encontrarlo debemos de igualar nuestra función a 0, para encontrar los valores de t tal que N(t) = 0.

N(t) = -t²+8t+9 = 0 
-t²+8t+9 = 0 
Factorizando:
(t+1)(t-9) = 0

t = -1
t = 9

Estos 2 valores al evaluarlos en nuestra función da como resultado 0, (0 muertes).
Pensemos: hay dos momentos en donde habrán 0 muertes.
1) Cuando la plaga comienza.
2) Cuando la plaga termina

Si t = 9 (Si el día era 9, entonces la plaga termina ya que han pasado 9 días)
Si t = -1 (Si el día era -1, no tiene sentido día -1)

Por lo tanto: La plaga termina cuando t = 9 (en el día 9)

d) Sabemos que para que N(t) sea 0, (que no hayan muertes) el día tiene que ser
t = -1  o   t = 9

Pensemos: Si hay dos momentos cuando no hay muertes (cuando la plaga comienza y cuando la plaga termina), y ya se dijo que para el día 9 la plaga termina. Entonces el otro día donde donde no hay muertes es  para t = -1 (el día -1).
t = -1 es un valor que esta antes de t = 0 (en el día 0 cuando la plaga se detecta y ya hay muertes)
Por lo tanto t = -1 se puede interpretar a "un día antes" a que la plaga fuera detectada. Por lo tanto:

La plaga comenzó el día anterior al que fue detectada.