Question

Ayuda por favor esta demostración de álgebra lineal
Distancia entre dos planos paralelos ax+by+cz+d1=0 y ax+by+cz+d2=0 es

D=|d1-d2|/(a^2+b^2+c^2)^1/2

Answer 1

$\text{Sea }p_1=(x_1,y_1,z_1)\in \mathcal P_1 \text{ donde }\vec{v}=(a,b,c)\text{ es el vector ortogonal a }\mathcal P_1 \\ \text{(y para }\mathcal P_2). \text{ Ahora sea }p_2=(x_2,y_2,z_2)\in \mathcal{P}_2\text{ tal que } \overrightarrow{p_1p_2}\parallel \vec v\text{ es decir:}\\ p_2-p_1=r\vec{v}\,,\, r\in \mathbb R\text{ fijo, as\'i tenemos }p_2=p_1+r\vec{v}\\ \\ (x_2,y_2,z_2)=(x_1,y_1,z_1)+r(a,b,c)\\ (x_2,y_2,z_2)=(x_1+ra,y_1+rb,z_1+rc)\in \mathcal P_2$

$a(x_1+ra)+b(y_1+rb)+c(z_1+rc)+d_2=0\\ (ax_1+by_1+cz_1)+(a^2+b^2+c^2)r+d_2=0\\ d_1+(a^2+b^2+c^2)r+d_2=0\\ \\ r=\dfrac{d_2-d_1}{a^2+b^2+c^2}\\ \\ \\ \text{La distancia entre los planos paralelos se calcula as\'i:}\\ \\ \mathcal D=\left|\overrightarrow{p_1p_2}\right|=|r\vec{v}|=|r||\vec{v}|\\ \\ \mathcal D=\left|\dfrac{d_2-d_1}{a^2+b^2+c^2}\right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}\\ \\ \\ \boxed{\mathcal D=\dfrac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}} \\ \hspace*{9cm}\square\square\square$

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

todo lo que dijo la otra persona