Question

El ángulo de elevación a la cima de una colina es 40° y el ángulo de elevación al extremo superior de una torre de altura de 10m situada sobre la cima de la colina es 70°. Calcular la altura de la colina.

Answer 1

La altura h de la colina es de aproximadamente 4.40 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El triángulo rectángulo BCD que representa a la colina: el cual está conformado por el lado BC que equivale a la longitud de la base de la colina desde donde se ubica el observador hasta el punto en dónde se eleva la torre sobre esta, -de la cual no se conoce su dimensión y llamaremos a esta distancia “x”-, el lado BD que representa la altura “h” de la colina -la cual es nuestra incógnita- ; teniendo finalmente el lado CD que es la proyección visual hasta la cima de la colina vista con un ángulo de elevación de 40°

El triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC -el cual es el mismo que para el primer triángulo- siendo la longitud “x” de la base de la colina, el lado AB que equivale a la altura “h” de la colina - de la cual desconocemos su valor- más la altura de la torre situada en la cima de la colina - donde esta magnitud se conoce-.  Por tanto conocemos de manera parcial el valor de este cateto. Y el lado AC que es la proyección visual hasta el extremo superior de la torre -que se sitúa sobre la cima de la colina- vista con un ángulo de elevación de 70°

Donde se pide hallar:

La altura h de la colina

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h

Donde "x" es la longitud de la base de la colina desde donde se ubica el observador hasta el punto en donde se eleva la torre sobre esta, -de la cual no se pide hallar su dimensión.-

Y dónde la incógnita "h" será la altura de la colina

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Siendo la longitud desconocida “x" de la base de la colina el cateto adyacente a los ángulos dados y en donde las diferentes alturas de la colina y de la torre junto con la altura desconocida de la colina son los catetos opuestos a los respectivos ángulos de elevación

En donde la longitud" x" de la base de la colina es un valor que no cambiará independientemente de lo avistado por el observador

Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto opuesto, los dos ángulos de elevación según dirija su visión el observador a los puntos mencionados y nos piden hallar la altura de la colina emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar nuestra incógnita

Hallamos la altura h - altura de la colina -

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (40^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to x = \frac{h}{tan(40^o ) } } }$

$\boxed {\bold {tan (70^o) = \frac{h+10}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to x = \frac{h + 10}{tan (70^o) } } }$

Habiendo despejado x:

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de h -altura de la colina-

$\boxed {\bold { \frac{h}{tan(40^o ) } = \frac{h + 10}{tan (70^o) } } }$

$\boxed { \bold {h \ . \ tan(70^o)= (h + 10) \ . \ tan(40^o) }}$

$\boxed { \bold {h \ . \ tan(70^o) = h\ . \ tan(40^o) +10 \ . \ tan(40^o) }}$

$\boxed { \bold {h \ . \ tan(70^o) - h \ . \ tan(40^o) =10 \ . \ tan(40^o) }}$

$\boxed { \bold {h \ . \ (tan(70^o) - \ tan(40^o) )=10\ . \ tan(40^o) }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 10 \ . \ tan(40^o) }{ tan(70^o) - \ tan(40^o) } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 10 \ . \ 0.83909963117 }{ 2.7474774194555 -0.83909963117 } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 8.3909963117 }{ 1.908377788278 } }}$

$\boxed { \bold {h = 4.39698 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {h = 4.40 \ metros }}$

La altura h de la colina es de aproximadamente 4.40 metros

Se adjunta gráfico a escala que representa la situación