Question

Ayuda con esta integral
Por favor, ayúdenme a resolverla por el método de integración por sustitución trigonométrica.

Answer 1

Hola que tal, necesitas hacer una sustitución trignométrica, y como que, cuando tienes raíces, y ves un signo más...osea la suma de dos términos, de una piensa en una tangente, entonces puedes considerar,

 $\tan(\theta)=\dfrac{x}{2}\hspace{5mm}\textrm{derivando: }2\sec^{2}(\theta)d\theta=dx$

ahora de donde me invente de que la tangente es igual a eso?...pues, si te acuerdas del teorema de pitagoras, entonces era como que,

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\\c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

y tienes algo muy parecido en la integral ¿verdad?, entonces lo único que haces es comparar...que si lo que está dentro de la raíz es una suma entonces, puedes decir que,

$\tan(\theta)=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$

OJO¡¡...aquí no sabemos cual es el cateto opuesto, ni cual es cateto adyacente...por ésta vez..SOLO AQUÏ puedes hacer eso...la idea es que siempre la variable te quede arriba, entonces, puedo haber considerado también

  $\tan(\theta)=\dfrac{2}{x}$

pero derivar eso, va a estar horrible...entonces, mejor supongo que equis es el cateto opuesto...y lo pongo arriba y el 2 es cateto adyacente entonces lo pongo abajo...y ya...entonces, te quedaría

$\displaystyle\int{\frac{2\sec^{2}(\theta)d\theta}{(2\tan(\theta))^{2}\sqrt{4+(2\tan(\theta))^{2}})}}=\int{\frac{2\sec^{2}(\theta)d\theta}{4\tan^{2}(\theta)\sqrt{4(1+\tan^{2}(\theta))}}$

aquí cabe recordar que,

$1+\tan^{2}(\theta)=\sec^{2}(x)$

entonces, te quedaría,

$\displaystyle\int{\frac{2\sec^{2}(\theta)d\theta}{4\tan^{2}(\theta)\sqrt{4}\sqrt{1+\tan^{2}(\theta)}}}=\int{\frac{\sec^{2}(\theta)d\theta}{4\tan^{2}(\theta)\sec(\theta)}}=\frac{1}{4}\int{\frac{\sec(\theta)}{\tan^{2}(\theta)}d\theta}$

ahora vamos a simplificar un poco más, recordando que,

$\sec(\theta)=\dfrac{1}{\cos(\theta)},\hspace{5mm}\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

entonces,

$\displaystyle\frac{1}{4}\int{\frac{\frac{1}{\cos(\theta)}}{\left(\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\right)^{2}}d\theta}=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{\cos(\theta)}\left(\frac{\cos^{2}(\theta)}{\sin^{2}(\theta)}\right)}d\theta=\frac{1}{4}\int{\frac{\cos(\theta)}{\sin^{2}(\theta)}}d\theta$

ahora, la idea seria que se fuera el coseno...entonces hagamos,

$u=\sin(\theta)\hspace{5mm}\textrm{derivamos: }du=\cos(\theta)d\theta\rightarrow d\theta=\dfrac{du}{\cos(\theta)}$

entonces,

 
$\displaystyle\frac{1}{4}\int{\frac{\cos(\theta)}{\sin^{2}(\theta)}}d\theta=\frac{1}{4}\int{\frac{\cos(\theta)}{u^{2}}}\left(\frac{du}{\cos(\theta)}\right)=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{u^{2}}}du=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{u}\right)\\\\\\...=-\frac{1}{4}[\sin(\theta)]=-\frac{1}{4}\sin\left(\arctan\left(\frac{x}{2}\right)\right)$

además ten en cuenta que,

$\sin(\arctan(\theta))=\sin(\theta)$

intentelo demostrar...o has un dibujito pero entiende,,,el porque...entonces,

 $...=\displaystyle-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{4+x^{2}}}{x}=-\frac{\sqrt{4+x^{2}}}{4x}+C$

finalmente se agrega la constante de integración....y se ha vuelto totalmente a la variable original....ten en cuenta que el valor de theta..se lo obtiene de la primera sustitución que hicimos...solo se despejar el theta de la tangente...lo demas es un juego de trignometría...asi que ha repasar¡...


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