Question

Hallar k para  x² - 2(1+3k)x+7(3+2k)=0 tenga raices iguales 


el tema es las propiedades de las raices (calculara el parámetro (k) 

Answer 1

si la ecuacion tiene la forma $a x^{2} +bx+c=0$
aplicamos propiedades de las soluciones de la ecuaciones cuadráticas
La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a: 
$x1+x2= \frac{-b}{a}$
El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
$x1*x2= \frac{c}{a}$

aplico asi:
primero como las raices son iguales x1=x2=x
$x+x= \frac{-(-2(1+3k))}{1} \\ 2x=2(1+3k) \\ 2x=2+6k \\ x=1+3k$
primera ecuacion
$x*x= \frac{7(3+2k)}{1} \\ x^{2} =21+14k$
segunda ecuacion

ahora reemplazo la primera ecuacion en la segunda asi:
$(1+3k) ^{2} =21+14k \\ 1+6k+9 k^{2}=21+14k \\ 9 k^{2} -8k-20=0 \\ \frac{(9k-18)(9k+10)}{9}=0 \\ (k-2)(9k+10)=0 \\ k=2 \\ k=- \frac{10}{9}$
esos son los valores que tiene k
:)

Answer 2

Naturaleza de las raíces de una Ecuacion Cuadratica.

x² - 2(1+3k)x+7(3+2k)=0
Tendra raíces iguales si la Discriminante(D) es igual a 0.
⇒ D = [-2(1+3k)]² - 4(1)(7(3+2k)) = 0
     ⇒  4(1+9k²+6k) - 84 - 56k = 0
     ⇒  4 + 36k² + 24k - 84 - 56k = 0
     ⇒  36k² - 32k - 80 = 0
     ⇒   9k² - 8k - 20 = 0
     ⇒    (k - 2)(9k + 10) = 0
     ⇒  k - 2 = 0    ∨     9k + 10 = 0
     ⇒     k = 2      ∨       k = -10/9

Luego para que la ecuacion inical tenga raices iguales k toma los valores 2 o -10/9.