Question

Es una derivada implícita :c
Encontrar "dy/dx" de:
Raíz de ((x^1/2)÷(y^1/2))... + Raíz de ((y^1/2)÷(x^1/2)).

Por favor...!!!

Answer 1

Primero debes saber que una función implícita de n variables equivale a ser una superficie de nivel  cero de una función de n+1 variables. Esta F de n+1 variables es la que indico en la 3era línea de la imagen que en este caso es F(x,y) (una superficie en el espacio ) .
Un teorema en cálculo vectorial asegura que si tienes una F(x,y) cuyas derivadas parciales de 1er orden son continuas en alguna bola abierta de interés, y además dF/dy es diferente de cero para dicho punto , te asegura que en la función implícita equivalente (a F(x,y)) existe , es decir, la función y en términos de x (y(x) ),aún cuando matemáticamente no se la pueda despejar y que sus derivadas parciales están dadas por la ecuación en la línea 2 de la figura.
La respuesta es dy/dx= y/x, obvio esta es la expresión de función de la derivada de dy/dx. Si te piden el mismo problema pero te especifica hallar dy/dx en el punto x=a y=b , entonces deberás asegurarte que que la bola abierta centrada en (a,b) , tenga derivadas parciales continuas y dF(a,b)/dy no sea cero . Si resulta cero , entonces la expresión no garantiza la existencia de esta función y(x) . 
Pilas que esas ponen en exámenes.