Question

¿Como se calcula las raíces cuadradas inexactas?

Answer 1

Aplicando derivadas. por ejemplo todos sabemos que √4=2 , pero √4.7 no es tan fácil.
Por definición derivada es :
lim       f(u+Δx)- f(u)   todo esto igual a d(f(u))/dx 
Δx→0           Δx 

re acomodando términos tienes 
(d(f(u))/dx).(Δx) ≈ f(u+Δx)- f(u) 

f(u+Δx) ≈ f(u) + (d(f(u))/dx).(Δx) 

así en el ejemplo que escogí u= 4 , (u+Δx)= 4.7 y Δx= 0.7 
la función con la que trabajaremos es f(x) = √x 

f(u) = f(4) = 2
Δx= 0.7 
(d(f(u))/dx) = (1/2).(1/√x)
(d(f(4))/dx)= (1/2) .(1/√4) = 0.25

entonces 
f(u+Δx) = f(4.7) ≈ 2 + (0.25)(0.7) = 2.175

El valor real es f(4.7)= 2.167948339. 
Como puedes ver, es una aproximación 2.175. 
Se puede mejorar esta aproximación ??
Por supuesto que si , si la función que usarás es continua y derivable en un intervalo de interés ( intervalo que contiene al número de interés, en este caso 4 ) puedes mejorar la aproximación usando series de Taylor.
Para el caso de funciones multivariables  usas en primera instancia el Jacobiano (que es la primera derivaba pero en varias varables  que es una matriz ) o hesiana (2da derivaba) , que también podrías usar Taylor pero los cálculos son muy grandes salvo que uses un programa , pero en general para varias variables usando Hesiana las aproximaciones son buenas .