Question

resolver las siguientes in ecuaciones de primer y segundo grado:
a) 1/2X-3< 3X + 2
b) 1/3X> 1/2X
c) (2X+3)*2>0
d) 2x(3x-4)<4x+3
e) 1/2x+2x(x+3) >3

Answer 1

$a)\:\frac{1}{2}X-3\ \textless \ 3X+2$
$\frac{X}{2}-3\ \textless \ 3X+2$
$\mathrm{Multiplicar\:ambos\:lados\:por\:}2:$
$\frac{X}{2}\cdot \:(2)-3\cdot \:(2)\ \textless \ 3X\cdot \:(2)+2\cdot \:(2)$
$X-6\ \textless \ 6X+4$
$\mathrm{Sumar\:}6\mathrm{\:a\:ambos\:lados}:$
$X-6+6\ \textless \ 6X+4+6$
$X\ \textless \ 6X+10$
$\mathrm{Restar\:}6X\mathrm{\:de\:ambos\:lados}:$
$X-6X\ \textless \ 6X+10-6X$
$-5X\ \textless \ 10$
$\mathrm{Multiplicar\:ambos\:lados\:por\:-1\:\left(invierte\:la\:desigualdad\right)}:$
$\left(-5X\right)\left(-1\right)\ \textgreater \ 10\left(-1\right)$
$5X\ \textgreater \ -10$
$\mathrm{Dividir\:ambos\:lados\:entre\:}5:$
$\frac{5X}{5}\ \textgreater \ \frac{-10}{5}$
$X\ \textgreater \ -2$
$\begin{bmatrix}\mathrm{Solucion:}\:&\:X\ \textgreater \ -2\:\\ \:\mathrm{Notacion\:intervalo}&\:\left(-2,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

$b)\:\frac{1}{3}X\ \textgreater \ \frac{1}{2}X$
$\frac{X}{3}\ \textgreater \ \frac{X}{2}$
$\mathrm{Multiplicar\:ambos\:lados\:por\:}6:$
$\frac{X}{3}\cdot \:(6)\ \textgreater \ \frac{X}{2}\cdot \:(6)$
$2X\ \textgreater \ 3X$
$\mathrm{Restar\:}3X\mathrm{\:de\:ambos\:lados}:$
$2X-3X\ \textgreater \ 3X-3X$
$-X\ \textgreater \ 0$
$\mathrm{Multiplicar\:ambos\:lados\:por\:-1\:\left(invierte\:la\:desigualdad\right)}:$
$\left(-X\right)\left(-1\right)\ \textless \ 0\cdot \left(-1\right)$
$X\ \textless \ 0$
$\begin{bmatrix}\mathrm{Solucion:}\:&\:X\ \textless \ 0\:\\ \:\mathrm{Notacion\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:0\right)\end{bmatrix}$

$c)\:\left(2X+3\right)\cdot \:2\ \textgreater \ 0$
$\mathrm{Dividir\:ambos\:lados\:entre\:}2;$
$\frac{\left(2X+3\right)\cdot \:2}{2}\ \textgreater \ \frac{0}{2}$
$2X+3\ \textgreater \ 0$
$\mathrm{Restar\:}3\mathrm{\:de\:ambos\:lados}:$
$2X+3-3\ \textgreater \ 0-3$
$2X\ \textgreater \ -3$
$\mathrm{Dividir\:ambos\:lados\:entre\:}2:$
$\frac{2X}{2}\ \textgreater \ \frac{-3}{2}$
$X\ \textgreater \ -\frac{3}{2}$
$\begin{bmatrix}\mathrm{Solucion:}\:&\:X\ \textgreater \ -\frac{3}{2}\:\\ \:\mathrm{Decimal:}&\:X\ \textgreater \ -1.5\\ \mathrm{Notacion\:intervalo}&\:\left(-\frac{3}{2},\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

$d)\:2x\left(3x-4\right)\ \textless \ 4x+3$
$\mathrm{Poner\:los\:parentesis\:utilizando}:\quad \:a\left(b+c\right)=ab+ac$
$6 x^{2} -8x\ \textless \ 4x+3$
$\mathrm{Restar\:}4x+3\mathrm{\:de\:ambos\:lados}:$
$6 x^{2} -8x-\left(4x+3\right)\ \textless \ 4x+3-\left(4x+3\right)$
$6x^2-12x-3\ \textless \ 0$
$\mathrm{Dividir\:ambos\:lados\:entre\:}3:$
$2x^2-4x-1\ \textless \ 0$
$\mathrm{Para\:una\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:de\:la\:forma\:}ax^2+bx+c=0\mathrm{\:las\:soluciones\:son\:}:$
$x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\mathrm{Para\:}\quad a=2,\:b=-4,\:c=-1:\quad x_{1,\:2}=\frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot \:2\left(-1\right)}}{2\cdot \:2}$
$x_{1} =\frac{2+\sqrt{6}}{2},\: x_{2}= \frac{2-\sqrt{6}}{2}$
$\left(x+\frac{1}{2}\left(-2-\sqrt{6}\right)\right)\left(x+\frac{1}{2}\left(\sqrt{6}-2\right)\right)\ \textless \ 0$
$(x+ \frac{(-2+ \sqrt{6}) }{2})(x+\frac{(-2- \sqrt{6}) }{2} )<0$
$\mathrm{Escoger\:los\:rangos\:que\:satisfacen\:la\:condicion\:solicitada:}\:\ \textless \ \:0:$
$\frac{2-\sqrt{6}}{2}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{2+\sqrt{6}}{2}$
$\begin{bmatrix}\mathrm{Solucion:}\:&\:\frac{2-\sqrt{6}}{2}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{2+\sqrt{6}}{2}\:\\ \:\mathrm{Decimal:}&\:-0.22474\dots \ \textless \ x\ \textless \ 2.22474\dots \\ \mathrm{Notacion\:intervalo}&\:\left(\frac{2-\sqrt{6}}{2},\:\frac{2+\sqrt{6}}{2}\right)\end{bmatrix}$