Question

El número de términos de una progresión geométrica creciente es 6, la suma de todos
ellos es 364 y la diferencia entre el cuarto término y el tercero es igual al séxtuplo del segundo. ¿Cuál es el primer término y la razón ?

Answer 1

En las progresiones geométricas (PG) partimos de la idea de que cada término se obtiene a partir de multiplicar el anterior por un nº llamado razón "r".

De la fórmula de suma de términos de una PG sacamos esto:

$S_n= \frac{a_n*r\ -a_1}{r-1} \ \ \ \ sustituyendo... 364= \frac{a_6*r\ -a_1}{r-1}$

La dejamos ahí reservada y vamos a por lo siguiente.
Diferencia entre 4º y 3º términos es igual a seis veces el 2º
$a_4-a_3=6a_2$

Pero según la definición del principio podemos hacer esto:
$a_2=a_1*r \\ a_3=a_2*r=a_1*r*r=a_1*r^2 \\ a_4=a_3*r=a_1*r*r*r=a_1*r^3$

Sustituyo ... a₂ , a₃ y a₄  por su equivalente usando a₁
$6a_1r=a_1r^3-a_1r^2 \ \ \ \ operando ... \\ 6a_1r=a_1r(r^2-r) \\ 6=r^2-r \\ r^2-r-6=0$

Por fórmula general de resolución de ec. de 2º grado...
$\left \{ {{r_1\ =\ \frac{1+5}{2}\ =\ 3 } \atop {r_2\ =\ \frac{1-5}{2}\ =\ -2 }} \right.$

De las dos soluciones matemáticas y válidas para la ecuación, en el ejercicio solo nos vale la positiva ya que nos habla de progresión creciente y eso no se daría con la solución negativa.

Por tanto, la razón es 3, ya tenemos una de las respuestas.

Para conocer el primer término habrá que acudir a las dos fórmulas ya expuestas. La del término general y la de suma de términos para construir un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas las cuales serán  a₁ y a₆

Término general:  
$a_6 = a_1* r^{n-1} \\ a_6=a_1* 3^{6-1} \\ a_6=a_1*3^5 \\ a_6=243a_1$

Suma de términos:
$364=\frac{a_6*3\ -a_1}{3-1} \\ \\ 728=3a_6-a_1 \\ \\ a_6= \frac{728+a_1}{3}$

Por el método de igualación se resuelve el sistema:
$\frac{728+a_1}{3}=243a_1$

Pero al resolver no sale exacto. He repasado operaciones y no veo el error así que también podría haber un error en la cifra que nos da como suma de términos pero no lo sé.

Te lo dejo porque me lo he currado y creo que el procedimiento y resolución son correctos.

Saludos.