Question

me pueden ayudar con este ejercicio porfavor.... es una multiplicacion de logaritmos
necesito a los mejores .... algun heroe sin capa?
$log_2[2^x^-1]*log_2[2^x^+^1-2]=12$

Answer 1

$\log_2[2^{x-1}]\cdot\log_2[2^{x+1}-2]=12\\ \\ (x-1)\cdot\log_2[2(2^{x}-1)]=12\\ \\ \log_2[2(2^{x}-1)]=\dfrac{12}{x-1}\\ \\ 2(2^{x}-1)=2^{\frac{12}{x-1}}\\ \\ 2^x-1=2^{\frac{13-x}{x-1}}\\ \\ \texttt{Hallemos el dominio de }x\\ \\ (a)~~2^x\ \textgreater \ 2^{\frac{13-x}{x-1}}\to x\ \textgreater \ \dfrac{13-x}{x-1}\to x\in (-\sqrt{13},1)\cup (\sqrt{13},+\infty)\\ \\ \\ (b)~~2^x-1\ \textgreater \ 0\to 2^x\ \textgreater \ 1\to x\ \textgreater \ 0$


$(c)~~~\texttt{Entonces la ra\'iz se encontrar\'a por }(0,1)\cup (\sqrt{13},+\infty)\\ \\ \\ (d)~~~ \texttt{es f\'acil ver que }f(x)=2^{x}-1\texttt{ es una funci\'on creciente}\\ ~~~~~~~~\texttt{para }x\ \textgreater \ 0\\ \\ (e)~~~\texttt{En cambio }g(x)=2^{\frac{13-x}{x-1}}\texttt{ es decreciente en }(0,1)\cup (\sqrt{13},+\infty)$


$(f) ~~~\texttt{intentemos resolver la ecuaci\'on }2^{x}-1-2^{\frac{13-x}{x-1}}=0\\ ~~~~~~~\texttt{considerando }h(x)=2^{x}-1-2^{\frac{13-x}{x-1}}\texttt{ mediante el m\'etodo de}\\ ~~~~~~~\texttt{Newton-Rhapson}\\ \\ \hspace*{3.4cm}s_i=s_{i-1}-\dfrac{h(s_{i-1})}{h'(s_{i-1})}\\ \\ \\ \texttt{Consideremos una soluci\'on dentro del intervalo }(0,1)\\ \\ s_0=0\\ \\ s_1=s_0-\dfrac{h(s_0)}{h'(s_0)}\\ \\ \\ s_1=0-\dfrac{h(0)}{h'(0)}\\ \\ \\ h'(x)=\dfrac{2^{\frac{x+11}{x-1}}\cdot \ln8}{(x-1)^2}+2^x\ln2$


$s_1\approx0.0001758526378\\ \\ s_2\approx s_1-\dfrac{h(s_1)}{h'(s_1)}\\ \\ \\ s_2\approx 0.0001758420794\\ \\ \\ s_3\approx s_2-\dfrac{h(s_2)}{h'(s_2)}\\ \\ \\ s_3\approx 0.0001758420814\\ \\ \\ s_4\approx s_2-\dfrac{h(s_3)}{h'(s_3)}\\ \\ \\ s_4\approx 0.0001758420799\\ \\ \\ \texttt{y as\'i. Entonces podemos ver que la soluci\'on aproximada es}\\ \\ \boxed{x\approx0.0001758421}\\ \\ \\ \texttt{Si hacemos lo mismo partiendo de } s_0=\sqrt{13}\texttt{ tendremos otra}\\ \texttt{soluci\'on approximada }$


$\boxed{x\approx 3.649307219}\\ \\ \texttt{Solamente son esos dos valores que se consideran soluci\'on.}\\ \\ \texttt{Para }x\ \textgreater \ \sqrt{13} \texttt{ las funciones }f\texttt{ y }g\texttt{ divergen}$