¿Que piensas acerca de que los egipcios utilizarán el Teorema de Pitágoras, sin aún esté haberlo descubierto?
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Respuesta:
El cuadrado del centro y el de la derecha son iguales. El de la derecha está formado por el cuadrado de lado igual a la hipotenusa y cuatro triángulos iguales al original; el del centro, por dos cuadrados de lados iguales, respectivamente, a ambos catetos y cuatro triángulos iguales al original; por lo tanto, el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los dos menores, o lo que es lo mismo, a2 + b2 = c2.
La demostración que encontramos con frecuencia en los libros de geometría actuales (atribuida al propio Pitágoras) se basa en la semejanza de triángulos.
Los triángulos ABC y ACH son semejantes porque ambos son rectángulos y tienen en común el ángulo A, y por tanto sus lados son proporcionales, luego b’/b = b/c, de donde b2 = cb’. También son semejantes ABC y BCH, pues tienen en común el ángulo B, luego a’/a = a/c, de donde a2 = ca’. Sumando ambas igualdades: a2 + b2 = ca’ + cb’ = c(a’ + b’) = c2.
De Pitágoras a Fermat
La fórmula pitagórica a2 + b2 = c2 invita a preguntarse qué pasa si la generalizamos a otros exponentes y la convertimos en an + bn = cn, donde n es un número entero cualquiera. Pues bien, en 1637 Pierre de Fermat llegó a la conclusión de que para n mayor que 2 no existen tres números naturales (enteros y positivos) a, b, c tales que se cumpla esa igualdad. Fermat escribió en el margen de un libro que había encontrado una demostración “admirable” de dicho teorema; pero nunca se encontró tal demostración, y los expertos dan por supuesto que Fermat se equivocó… o quiso gastarle una broma a la comunidad matemática. De hecho, el teorema permaneció en estado de conjetura durante tres siglos y medio, hasta que, tras numerosos intentos, fue demostrado por Andrew Wiles en 1995.
“He encontrado una demostración realmente admirable, pero no cabe en el exiguo margen de este libro”, escribió Fermat. También en esto el tiempo le dio la razón: la demostración de Wiles sería difícil de encajar en los márgenes de un libro, pues ocupa unas 100 páginas.