Question

Ejercicio 4.- Los puntos A(0, 1, 1) y B(2, 1, 3) son dos v ́ertices de un tri ́angulo. El tercer v ́ertice es un
punto de la recta r dada por

2x + y = 0
z = 0


b) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas de los posibles puntos D de r para que el tri ́angulo ABD tenga
un ́area igual a √2.

Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II.

b)   primero escribimos la recta r de forma paramétrica 
r=

x=t

y=-2t

z=0


cualquier punto D en la recta tendrá que ser de la forma (t,-2t,0)


No nos queda más que calcular el área y despejar el valor de t. 
Los vectores que forman el triángulo son : AB = (2,0,2) y AD = (t,-2t-1,-1)



$S= 1/2|AB$ ∧ $AD| = 1/2 modulo \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&0&2\\t&-2t-1&-1\end{array}\right]$ 

= $1/2modulo [(2+4t)i +(2+2t)j-(2+4t)k]$

= $1/2 \sqrt{(2+4t)^2 + (2+2t)^2 - (2+4t)^2} = 1/2 \sqrt{36t^2+40t+12}$ = $\sqrt{2}$  

⇒ $9t^2+10t+1=0$ ⇒ $t=-1;t=-1/9$


así, el punto puede ser de D=(-1,2,0) o D=(-1/9,2/9,0)