Question

Se desea construir un depósito de combustible para almacenar gasolina de una forma muy especial. Un grupo de ingenieros que acepta el trabajo se da cuenta que las paredes del depósito están generadas por un sólido de revolución obtenido al girar el arco f(x)= 3-√(x^2-4x), alrededor de la recta vertical x=2. El arco de la función f está entre 4 y 5 ¿Cuál será el volumen de gasolina que se puede almacenar en el depósito de combustible?

Answer 1

El volumen de gasolina que se puede almacenar en el depósito de combustible es, aproximadamente  23,7   unidades cúbicas.

Explicación paso a paso:

Anexa la gráfica de la región plana acotada por el arco y las bandas verticales dadas y, en particular, se sombrea la porción que genera el sólido de revolución con el detalle del rectángulo diferencial.

Usaremos el método de casquillos o anillos para el cálculo de volumen de sólidos de revolución:

$\bold{V~=~2\pi \int\limits^b_a {p_{(x)}h_{(x)} \, dx}}$

donde:

(a, b) es el intervalo que abarca la región plana en el eje de integración

p₍x₎ es la distancia del rectángulo genérico al eje de giro y representa el radio promedio del anillo de revolución que se genera.

h₍x₎ es la altura del rectángulo genérico y representa la altura promedio del anillo de revolución que se genera.

dx es el espesor del anillo de revolución que se genera.

En el caso que nos ocupa, el volumen del sólido viene dado por:

$\bold{V~=~2\pi \int\limits^5_4 (x~-~2)[3~-~ \sqrt{x^{2}~-~4x}]\, dx}$

Se resuelve la integral por el método de sustitución o cambio de variable simple:

Llamamos        u  =  x²  -  4x                du  =  (2x  -  4) dx  =  2(x  -  2)dx

Los límites de integración:    x  =  4  ,  u  =  0                x  =  5  ,  u  =  5

$\bold{V~=~2\pi \int\limits^5_0 (\dfrac{1}{2})[3~-~ \sqrt{u}]\, du\qquad \Rightarrow}$

$\bold{V~=~\pi [3u~-~(\dfrac{2}{3})u^{\frac{3}{2}}]^5_0~=~\pi [3(5)~-~(\dfrac{2}{3})(5)^{\frac{3}{2}}]~\approx~23,7~~unidades^3}$

El volumen de gasolina que se puede almacenar en el depósito de combustible es, aproximadamente  23,7   unidades cúbicas.

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