Question

Ejercicio 4.- Sea el plano π ≡ 2x + y − z + 8 = 0.

a) [1’5 puntos] Calcula el punto P sim ́etrico del punto P(2, −1, 5) respecto del plano π.


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014-2015, Matematicas II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014-2015, MATEMATICAS II

 

a)       Debemos calcular la ecuación para una recta que pase por el punto P y a su vez sea perpendicular al plano, esto quiere decir que el vector dirección de la recta será paralelo al vector normal del plano por lo tanto se pueden denotar como: (2,1,-1)

 

Quedando la ecuación paramétrica de la recta de la siguiente forma:

X=2+2t

Y=-1+t

Z=5-t

 

Para obtener el punto de intersección M entre la recta y el plano debemos sustituir la ecuación de la recta en la del plano de esta forma:

 

2.(2+2t)+(-1+t)-(5-t)+8=0

 

Despejando t=-1

 

Asi obtenemos el punto de intersección M con coordenadas x=0 ; y=-2 ; z=6.

 

M es el punto medio de PP’ ahora para calcular las coordenadas de P’ las denotaremos como (i,j,k) y debemos comprobar que se cumpla que: 

 

$\frac{i+2}{2} =0; i=-2$

 

$\frac{j-1}{2}=0; j=-3$

 

$\frac{k+5}{2}=0; k=7$

 

Asi, el punto simétrico es P’(-2,-3,7).