Question

Ejercicio 4.- Sea el plano π ≡ 2x + y − z + 8 = 0.

a) [1’5 puntos] Calcula el punto P sim ́etrico del punto P(2, −1, 5) respecto del plano π.

b) [1 punto] Calcula la recta r, sim ́etrica de la recta r ≡x − 2/ −2 = y + 1/3 =z − 5/1
respecto del plano π.

Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014-2015, Matematicas II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014-2015, MATEMATICAS II

a)       Debemos calcular la ecuación para una recta que pase por el punto P y a su vez sea perpendicular al plano, esto quiere decir que el vector dirección de la recta será paralelo al vector normal del plano por lo tanto se pueden denotar como: (2,1,-1)

Quedando la ecuación paramétrica de la recta de la siguiente forma:

X=2+2t

Y=-1+t

Z=5-t

Para obtener el punto de intersección M entre la recta y el plano debemos sustituir la ecuación de la recta en la del plano de esta forma:

2.(2+2t)+(-1+t)-(5-t)+8=0

Despejando t=-1

Asi obtenemos el punto de intersección M con coordenadas x=0 ; y=-2 ; z=6.

M es el punto medio de PP’ ahora para calcular las coordenadas de P’ las denotaremos como (i,j,k) y debemos comprobar que se cumpla que: 

$\frac{i+2}{2} =0; i=-2$

$\frac{j-1}{2}=0; j=-3$

$\frac{k+5}{2}=0; k=7$

Asi, el punto simétrico es P’(-2,-3,7).

b)       Primero, obtengamos el punto donde la recta r corta con el plano π

La ecuación paramétrica de r es:

X=2-2t

Y=-1+3t

Z=5+t

Ahora 2.(2-2t)+(-1+3t)-(5+t)+8=0 ⇒ t=3

Por lo tanto el punto es A(-4,8,8)

 

r’ debe pasar por los puntos A y P’ entonces AP’(2,-11,-1)  ⇒ vector

$r'= \frac{x+4}{2}= \frac{y-8}{-11}= \frac{z-8}{-1}$