Question

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se quiere construir un dep ́osito abierto de base cuadrada y paredes verticales
con capacidad para 13’5 metros c ́ubicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme.
Calcula las dimensiones del dep ́osito para que el gasto en chapa sea el m ́ınimo posible.

Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014-2015, Matematicas II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014-2015, MATEMATICAS II.

El objetivo es que $S= x^2+4xy$ sea un mínimo.

Por otro lado tenemos que,  

$x^2.y=13' 5$ ⇒  $y= 13'5/x^2$

Ahora sustituyamos en S para que la ecuación quede en función de una variable.  

$S= x^2+4x \frac{13'5}{x^2} = x^2+ \frac{54}{x}$

Calculamos la primera derivada y la igualamos a 0 para obtener un valor extremo.

 $S'= 2x- \frac{54}{x^2} = \frac{(2x^3-54)}{x^2} =0$     ⇒    $x= \sqrt[3]{27} =3$

Ahora, calculamos la segunda derivada para comprobar que el valor sea un mínimo.

$S''= \frac{(6x^2.x^2-2x(2x^3-54))}{x^4}= \frac{(6x^3-4x^3+108)}{x^3} = \frac{(2x^3+108)}{x^3}$

⇒  $S'' (x=3)=6$ $\ \textgreater \ 0$   ⇒ Es un mínimo.

En conclusión, las dimensiones deben ser $x=3m$; $y=1'5m$