Question

Calcular el área de la región triangular ADC, si BD = 2 y DC = 4.​

Answer 1

El área de la región triangular ADC es $4\sqrt{3}$

Explicación paso a paso:

Si es BD=2 y DC=4 es BC=2+4=6, y además BC es el cateto opuesto al ángulo $2\alpha$. Las tangentes de los ángulos $\alpha$ y $2\alpha$ son:

$tan(\alpha)=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{AB}\\\\tan(2\alpha)=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{AB}=\frac{3BD}{AB}=3.tan(\alpha)$

El ángulo tal que $tan(2\alpha)=3.tan(\alpha)$ es el de 30°. Por lo que tenemos por un lado:

$tan(30\°)=\frac{2}{AB}\\\\AB=\frac{2}{tan(30\°)}=\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=2\sqrt{3}$

Entonces, el área del triángulo ADC será la diferencia entre las áreas de los triángulos ABC y ABD:

$A_{ADC}=\frac{AB.BC}{2}-\frac{AB.DB}{2}=\frac{2\sqrt{3}.6}{2}-\frac{2\sqrt{3}.2}{2}\\\\A_{ADC}=4\sqrt{3}$