Question

3. Una empresa vende todas las unidades que produce a $ 4 cada una. El costo total C de la empresa por producir “x” unidades esta dado en dólares por:  C(x) =50+1,3x + 0,001x al cuadrado 
a) Modele la expresión que permita calcular la utilidad total
.b) Modele la expresión que permita calcular una utilidad total no menor de 4 000 dólares.

Answer 1

a) Modele la expresión que permita calcular la utilidad total  

Veamos:  

i) Cada unidad  que produce lo vende a:  $4  

Si frabrica "x" unidades, lo venderá por un total de:  V (x) = 4x ......(i)  

ii) El precio de costo por producir "x" unidades , está dado en dolares por:   

          C(x) =  50 + 1,3x + 0,001x² ........... (ii)  

iii) Teniendo en cuenta que: Ganancia = Utilidad = Precio de venta - Precio de costo, podemos establecer la siguiente relación: 

 Sea: U(x) , la utilidad obtenida por vender "x" unidades, entonces, se cumplirá que:

   U(x) = V(x) - C(x) ................ (iii)   

 Reemplazando (i) y (ii) en (iii):

  U(x) = 4x - (50 + 1,3x + 0,001x²)

  U(x) = 2,7x - 0,001x² - 50  ←  Respuesta nº1


b) Modele la expresión que permita calcular una utilidad total no menor de 4 000 dólares.

• Calculemos el valor máximo que puede tomar U(x)


U'(x) = 0

2,7 - 2(0,001)x = 0

2,7 = 0,002x

2,7/0,002 = x

1350 = x


U''(x) =  -0,002 < 0 , por lo tanto, existe un máximo  para x = 1350


Luego, la utilidad máxima que puede obtenerse será:

U(x=1350) = 2,7(1350) - 0,001(1350)² - 50

U(x=1350) = 3645  -1822.5 - 50
 
U(x=1350) = $ 1 772.5  < $4000


Nótese que la utilidad  máxima que puede obtenerse será de $1 772.5 , por lo tanto, no es posible obtener una expresión que permita calcular una utilidad total no menor de $ 4 000.


Eso es todo!!!