Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar en torno al eje y, la región en el primer cuadrante que está por encima de la parábola y=x^2, y por debajo de la parábola y=2-x^2 . El volumen se expresa en unidades cúbicas.
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1
Buen, lo primero que debes hacer es graficar las funcioens si gustas...pero deberás hacerlo tu....ahora..solo hay que hacer la integral...el punto de intersecci´no de la funciones es obvio que se trata del punto x=y=1...
![\displaystyle2\int_{0}^{1}{\pi(x^{2}-(2-x^{2}))^{2}}dx=2\int_{0}^{1}{\pi(2x^{2}-2)^{2}}dx=\\\\2\pi\left(\frac{4x^{5}}{5}-\frac{8x^{3}}{3}+4x\right|_{0}^{1}=...\\\\...=2\pi\left(\frac{4(1)^{5}}{5}-\frac{8(1)^{3}}{3}+4(1)\right)-2\pi\left(\frac{4(0)^{5}}{5}-\frac{8(0)^{3}}{3}+4(0)\right)=...\\\\...=\frac{64\pi}{15} \displaystyle2\int_{0}^{1}{\pi(x^{2}-(2-x^{2}))^{2}}dx=2\int_{0}^{1}{\pi(2x^{2}-2)^{2}}dx=\\\\2\pi\left(\frac{4x^{5}}{5}-\frac{8x^{3}}{3}+4x\right|_{0}^{1}=...\\\\...=2\pi\left(\frac{4(1)^{5}}{5}-\frac{8(1)^{3}}{3}+4(1)\right)-2\pi\left(\frac{4(0)^{5}}{5}-\frac{8(0)^{3}}{3}+4(0)\right)=...\\\\...=\frac{64\pi}{15}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle2%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%7B%5Cpi%28x%5E%7B2%7D-%282-x%5E%7B2%7D%29%29%5E%7B2%7D%7Ddx%3D2%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%7B%5Cpi%282x%5E%7B2%7D-2%29%5E%7B2%7D%7Ddx%3D%5C%5C%5C%5C2%5Cpi%5Cleft%28%5Cfrac%7B4x%5E%7B5%7D%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B8x%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%2B4x%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7B1%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D2%5Cpi%5Cleft%28%5Cfrac%7B4%281%29%5E%7B5%7D%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B8%281%29%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%2B4%281%29%5Cright%29-2%5Cpi%5Cleft%28%5Cfrac%7B4%280%29%5E%7B5%7D%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B8%280%29%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%2B4%280%29%5Cright%29%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cfrac%7B64%5Cpi%7D%7B15%7D)
y eso sería todo
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