Question

Ejercicio 4.- Sea r la recta definida por

x = 1
y = 1
z = λ − 2

y s la recta dada por (

x − y = 1
z = −1

a) [1’75 puntos] Halla la ecuaci ́on de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.

b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre r y s.


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 3 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 3 2014-2015, MATEMATICAS II

 

Al escribir las rectas de forma paramétrica tenemos:

r    ⇒  x =1; y=1; z=t-2

s  ⇒  x=1+s; y=s; z=-1

En la recta r los puntos seran de la forma P = (1,1,t-2) mientras que en la recta s serán de la forma B = (1+s,s,-1).

Definimos un vector PB = (s,s-1,1-t) que si es perpendicular a r y s se cumple que:

 

$(PB) .u =0$ ⇒  $(s,s-1,1-t).(0,0,1)=0$ ⇒  $1-t=0$ ⇒  $t=1$

 

$(PB) .v =0$ ⇒  $(s,s-1,1-t).(1,1,0)=0$ ⇒ $s+s-1=0$ ⇒ $s=1/2$

 

Quedando los puntos de la siguiente forma:

 

$P=(1,1,-1); B (3/2,1/2,-1); (PB)=(1/2,-1/2,0)$

a)       La ecuación de la recta, usando el punto P y el vector PB queda de la siguiente forma:

$\frac{(x-1)}{1/2} = \frac{(y-1)}{-1/2} = \frac{(z+1)}{0}$

b)       Para obtener la distancia, calculamos el modulo del vector PB.

 

$|(AB) |= \sqrt{(1/2)^2+(-1/2)^2+0} = 0' 7071u$