Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
x + (λ + 1)y + z = 1
λy + z = 0
λy + λz = λ
a) [1 punto] Disc ́utelo seg ́un los valores de λ.
b) [0’75 puntos] Resu ́elvelo para λ = 0.
c) [0’75 puntos] Determina, si existe, el valor de λ para el que hay una soluci ́on en la que z = 2. Calcula
esa soluci ́on.
Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas
a) Discútelo según los valores de λ.
La relación es Det(A) = 0 para la matriz de coeficientes.
|1 λ+1 1|
|0 λ 1| = 0 = λ^2 – λ => λ1 = 0, λ2 = 1
|0 λ λ|
Para λ = 0:
Matriz de coeficientes.
(1 1 1)
(0 0 1)
(0 0 0)
-> Como la tercera fila es nula se concluye que el sistema es de Rango = 2.
Sistema compatible indeterminado.
Matriz ampliada.
(1 1 1 1)
(0 0 1 0)
(0 0 0 0)
-> Como la tercera fila es nula se concluye que el sistema es de Rango = 2.
Sistema incompatible.
Para λ = 1:
Matriz de coeficientes.
(1 2 1)
(0 1 1)
(0 1 1)
-> Como F2 y F3 son proporcionales se concluye que el sistema es de Rango = 2.
Sistema compatible indeterminado.
Matriz ampliada.
(1 2 1 1) (1 2 1 1)
(0 1 1 0) -> F3 = F3 – F2 -> (0 1 1 0) -> Rango = 2
(0 1 1 1) (0 0 0 1)
Sistema incompatible.
b) Resuélvelo para λ = 0.
Para λ = 0 el sistema queda:
x + y + z = 1
z = 0
El sistema es compatible indeterminado, por lo tanto para x = t la solución es:
x = t
y = 1 – t
z = 0
c) Determina, si existe, el valor de λ para el que hay una solución en la que z = 2. Calcula esa solución.
Se sustituye z = 2 y el sistema queda:
x + (λ+1)y + 2 = 1 (1)
λy + 2 = 0 (2)
λy + 2λ = λ (3)
Se despeja y de la ecuación (3).
y = -1
Se sustituye el valor de y en la ecuación (2).
λ(-1) + 2 = 0
λ = 2
Se sustituyen los valores de λ e y en la ecuación (1).
x + (2+1)(-1) + 2 = 1
x = 2
Solución:
x = 2
y = -1
z = 2
λ = 2
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4 2015-2016 MATEMÁTICAS II.