Question

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Determina el punto de la recta r ≡ x − 1 / 2 = y + 1 = z/3

que equidista de los planos

π ≡ x + y + z + 3 = 0 y π′ ≡

x = −3 + λ
y = −λ + μ
z = −6 − μ


Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva B 2015-2016, Matematicas II

Answer 1

Se calcula la ecuación general del plano π’ a partir de su ecuación paramétrica.

 

|x + 3   1   0|

|   y     -1   1| = x + y + z + 9 = 0

|z + 6   0  -1|

 

Se transforma la recta r a su forma paramétrica.

 

x = 1 + 2t

 

y = -1 + t

 

z = 3t

 

Con esto el vector director y punto de la recta son:

 

Vdr = (2, 1, 3)

 

A (1, -1, 0)

 

Como se pide un punto de r que equidiste de π y π’ se tiene que:

 

D(r, π) = D(r, π’)

 

La ecuación de la distancia es:

 

D = |A*x + B*y + C*z + D| / |N|

 

D(r, π) = |1 + 2t -1 + t + 3t + 3| / √3 = |3 + 6t| / √3

 

D(r, π’) = |1 + 2t -1 + t + 3t + 9| / √3 = |9 + 6t| / √3

 

Igualando los términos.

 

|3 + 6t| / √3 = |9 + 6t| / √3

 

|3 + 6t| = |9 + 6t|

 

De esta expresión surgen dos ecuaciones.

 

3 + 6t = 9 + 6t (No posee una solución)

 

3 + 6t = - 9 – 6t

 

t = -1

 

Por lo tanto el punto es:

 

P (-1, -2, -3)

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA B 2015-2016 MATEMÁTICAS II.