Question

Ejercicio 3.- Considera la matriz: A =

1 0 λ + 1
λ 1 −1
0 0 1

a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los valores de λ para los que A−1 = 2I − A (siendo I la matriz
identidad de orden 3).

b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz A + AT no tiene inversa (AT
es la matriz traspuesta de A).


Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva B 2015-2016, Matematicas II

Answer 1

a) Determina, si existen, los valores de λ para los que A^-1 = 2I – A (siendo I la matriz identidad de orden 3).

 

Se determina en primera instancia la matriz inversa de A (A^-1).

 

            (1  0  λ+1 | 1  0  0)

A^-1 = (λ  1   -1  |  0  1  0)

            (0  0    1  |  0  0  1)

 

            (1  0   0 | 1    0       -1-λ   )

A^-1 = (0  1  0 | -λ   1  λ^2+λ+1)

            (0  0  1  |  0   0         1     )

 

                     (1  0  0)    (1  0  λ+1)    (1   0  -1-λ)

2I – A = 2 * (0  1  0) – (λ  1   -1  ) = (-λ  1     1 )

                     (0  0  1)    (0  0    0  )     (0   0     1 )

 

A^-1 = 2I – A

 

(1    0       -1-λ   )     (1   0  -1-λ)

(-λ   1  λ^2+λ+1) = (-λ  1     1 )

( 0   0         1     )     (0   0     1 )

 

λ^2+λ+1 = 1

 

λ^2+λ = 0

 

λ1 = 0

 

λ2 = -1

 

b) Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz A + A^t no tiene inversa (A^t es la matriz transpuesta de A).

 

          (  1      λ  0)

A^t = ( 0      1  0)

          (λ+1  -1  1)

 

                 (1  0  λ+1)   (  1      λ  0)    (2         λ      λ+1)

A + A^t = (λ  1   -1 ) + (0      1  0)  = (λ         2         -1)

                 (0  0    0 )    (λ+1  -1  1)    (λ+1    -1         1)

 

                          |2         λ      λ+1|

Det(A + A^t) = | λ         2        -1| = -6λ^2 - 6λ + 4 = 0

                          | λ+1    -1         1|

 

λ1 = -1/2 + √(33) / 6

 

λ2 = -1/2 - √(33) / 6

 

La matriz A + A^t no tiene inversa para los valores de λ1 y λ2.

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA B 2015-2016 MATEMÁTICAS II.