Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuaci ́on 6x − my + 2z = 1 y la recta r dada por
x − 1/−3 = y + 1/2 = z + 2/−1
a) [1 punto] Calcula m en el caso en que la recta r es perpendicular al plano π.
b) [1’5 puntos] ¿Existe alg ́un valor de m para el que la recta r est ́e contenida en el plano π?.
Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva B 2015-2016, Matematicas II
Respuestas
a) Calcula m en caso que la recta r es perpendicular al plano π.
El vector director de la recta es:
Vdr = (-3, 2, -1)
La normal del plano es:
N = (6, -m, 2)
Para que la recta r sea perpendicular al plano, se debe cumplir que la normal del plano sea proporcional al vector director de la recta, es decir:
N = λ*Vdr
(6, -m, 2) = λ*(-3, 2, -1)
λ = 6/-3 = -m/2 = 2/-1 => m = 4
b) ¿Existe algún valor de m para el que la recta r esté contenida en el plano π?
Se transforma la recta a su forma implícita.
2x – 2 = -3y – 3; -x + 1 = -3z – 6
2x + 3y = -1
-x + 3z = -7
Se adiciona la ecuación del plano y se crea un sistema de ecuaciones.
2x + 3y = -1
-x + 3z = -7
6x – my + 2z = 1
La recta estará contenida en el plano si el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz expandida tienen un rango de 2.
Para la matriz de coeficientes:
| 1 3 0|
Det (A) = |-1 0 3| = 0 => 60 + 3m = 0 => m = -20
| 6 -m 2|
Si m = - 20 el rango de la matriz es de 2.
Se sustituye el valor de m y se calcula el rango en la matriz expandida.
( 1 3 0 -1)
M = (-1 0 3 -7)
(6 20 2 1)
Se realizan las siguientes operaciones:
F2 = F2 + F1
F3 = F3 – 6F1
F3 = F3 – 2F2/3
Con esto la matriz queda:
(1 3 0 -1 )
(0 3 3 -8 )
(0 0 0 37/3)
Con esto el rango de la matriz expandida es igual a 3.
Por lo tanto no existe ningún valor de m que permita a la recta r estar contenida en el plano.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA B 2015-2016 MATEMÁTICAS II.